Cho hình vuông ABCD cạnh a. Từ tâm O của hình vuông dựng đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Trên ∆ lấy điểm S sao cho OS = a/2 . Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu được tạo nên bởi mặt cầu đó.
Do O là tâm của hình vuông ABCD cũng là tâm của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD nên đường thẳng tam giác là trục của đường tròn đó.
Gọi I là giao điểm của đường thẳng tam giác và mặt phẳng trung trực của cạnh SA, khi đó IS = IA = IB = IC = ID = r hay mặt cầu S(I; r) là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Ta có \(\Delta SMI\) đồng dạng \(\Delta SOA\)
\(\Rightarrow \frac{SI}{SA}=\frac{SM}{SO}\Leftrightarrow SI=\frac{SA.AM}{SO}=\frac{SA^2}{2SO}\).
Trong đó: \(SA^2=OA^2+SO^2=\left ( \frac{a\sqrt{2}}{2} \right )^2+\frac{a^2}{4}= \frac{3a^2}{4}\).
Bán kính \(r=SI=\frac{\frac{3a^2}{4}}{2.\frac{a}{2}}=\frac{3a}{4}\).
Diện tích mặt cầu S(I; r) là: \(S=4 \pi. r^2=\frac{9\pi.a^2}{4}\).
Thể tích của khối cầu là: \(V=\frac{4}{3}.\pi.r^3=\frac{9\pi.a^3}{16}\).
-- Mod Toán 12
Copyright © 2021 HOCTAP247