Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC, biết \(SA = SB = SC = a,\widehat {ASB} = {60^0},\widehat {BSC} = {90^0},\widehat {CSA} = {120^0}\)
Áp dụng định lí Cosin trong tam giác SAB, SAC ta có:
\(\begin{array}{l}
A{B^2} = S{A^2} + S{B^2} - 2SA.SB.\cos {60^0}\\
= {a^2} + {a^2} - 2{a^2}.\frac{1}{2} = {a^2} \Rightarrow AB = a\\
A{C^2} = S{A^2} + S{C^2} - 2SA.SC.\cos {120^0}\\
= {a^2} + {a^2} - 2{a^2}\left( { - \frac{1}{2}} \right) = 3{a^2} \Rightarrow AC = a\sqrt 3
\end{array}\)
Trong tam giác vuông SBC có
\(B{C^2} = S{B^2} + S{C^2} = 2{a^2} \Rightarrow BC = a\sqrt 2 \)
Ta có: \(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} \Rightarrow \Delta ABC\) vuông tại B
Gọi H là trung điểm của AC thì H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Vì SA = SB = SC nên SH ⊥ mp(ABC) và
\(\begin{array}{l}
S{H^2} = S{C^2} - H{C^2}\\
= {a^2} - {\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} = \frac{{{a^2}}}{4} \Rightarrow SH = \frac{a}{2}
\end{array}\)
Gọi O là điểm đối xứng của S qua H thì SO = OA = OB = OC = a nên mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC có tâm O và bán kính R = a.
-- Mod Toán 12
Copyright © 2021 HOCTAP247