Bài tập 2.21 trang 61 SBT Hình học 12

Bài tập 2.21 trang 61 SBT Hình học 12

Tam giác CED là tam giác vuông cân tại E nên trục của đường tròn đi qua ba điểm C, E, D là đường thẳng Δ đi qua trung điểm I của đoạn thẳng CD và song song với SA.

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SE và SC. Ta có mặt phẳng (ABNM) là mặt phẳng trung trực của đoạn SE.

Vậy tâm O của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.CDE chính là giao điểm của Δ$\Delta$ và mp(ABNM).

Gọi K là trung điểm của AB thì KN // AM và do đó KN // (SAE). Ta có IK // AD nên IK // (SAE).

Vậy KN và Δ đồng phẳng và ta có O là giao điểm cần tìm.

Chú ý rằng OIK là tam giác vuông cân, vì \(\widehat {OKI} = \widehat {MAE} = {45^0}\)

Ta có  OI = IK, trong đó \(IK = \frac{{BC + AD}}{2} = \frac{{a + 2a}}{2} = \frac{{3a}}{2}\)

Vậy \(O{C^2} = O{I^2} + I{C^2} = \frac{{9{a^2}}}{4} + \frac{{2{a^2}}}{4}\) (vì \(CD = a\sqrt 2 ;IC = \frac{{CD}}{2}\)).

Do đó, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.CDE là: \(r = OC = \frac{{a\sqrt {11} }}{2}\)

-- Mod Toán 12