Bài tập 2.23 trang 61 SBT Hình học 12
Bài tập 2.23 trang 61 SBT Hình học 12
Cho hình cầu đường kính AA’ = 2r. Gọi H là một điểm trên đoạn AA’ sao cho \(AH = \frac{{4r}}{3}\). Mặt phẳng \((\alpha )\) qua H và vuông góc với AA’ cắt hình cầu theo đường tròn (C).
a) Tính diện tích của hình tròn (C).
b) Gọi BCD là tam giác đều nội tiếp trong (C), hãy tính thể tích hình chóp A.BCD và hình chóp A’.BCD.
a) Theo giả thiết ta có \(AH = \frac{{4r}}{3}\)
Ta suy ra \(OH = \frac{r}{3}\). Gọi r′ là bán kính của đường tròn (C).
Ta có: \({r^{\prime 2}} = {r^2} - O{H^2}\)
Vậy diện tích của hình tròn (C) là: \(S = \pi {r^{\prime 2}} = \frac{{8\pi {r^2}}}{9}\)
b) Vì BCD là tam giác đều nên ta có: \(BC = r'.\sqrt 3 = \frac{{2\sqrt 6 }}{3}r\)
.png)
Diện tích của tam giác đều BCD là \(S = \frac{{B{C^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{24{r^2}}}{9}.\frac{{\sqrt 3 }}{4} = \frac{{2{r^2}\sqrt 3 }}{3}\)
Thể tích hình chóp A.BCD là: \(V = \frac{1}{3}\frac{{2{r^2}\sqrt 3 }}{3}.\frac{{4r}}{3}\)
Hai hình chóp A.BCD và A’.BCD có chung mặt đáy BCD nên:
\(\frac{{{V_{A'.BCD}}}}{{{V_{A.BCD}}}} = \frac{{HA'}}{{HA}} = \frac{1}{2}\)
Do đó \({V_{A'.BCD}} = \frac{{4\sqrt 3 {r^3}}}{{27}}\).
-- Mod Toán 12
Copyright © 2021 HOCTAP247