Bài tập 5 trang 64 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 5 trang 64 SGK Hình học 12 NC
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Tập hợp các điểm M sao cho \(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2} = 2{a^2}\)
(A) Mặt cầu có tâm là trọng tâm của tam giác ABC và bán kính bằng \(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
(B) Mặt cầu có tâm là trọng tâm của tứ diện và bán kính bằng \(\frac{{a\sqrt 2 }}{4}\).
(C) Mặt cầu có tâm là trọng tâm của tứ diện và bán kính bằng \(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
(D) Mặt cầu có tâm là trọng tâm của tam giác ABC và bán kính bằng \(\frac{{a\sqrt 2 }}{4}\)
Gọi G là trọng tâm tứ diện ABCD, AA′ là đường cao xuất phát từ A của tứ diện ABCD. Ta có:
AA' = \sqrt {A{B^2} - BA{'^2}} \\
= \sqrt {{a^2} - \frac{{{a^2}}}{3}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\\
\Rightarrow GA = GB = GC = GD\\
= \frac{3}{4}AA' = \frac{{a\sqrt 6 }}{4}
\end{array}\)
\(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2} = 2{a^2}\)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {\left( {\overrightarrow {GA} - \overrightarrow {GM} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {GB} - \overrightarrow {GM} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {GC} - \overrightarrow {GM} } \right)^2}\\
+ {\left( {\overrightarrow {GD} - \overrightarrow {GM} } \right)^2} = 2{a^2}\\
\Leftrightarrow 4G{A^2} + 4G{M^2} - 2\overrightarrow {GM} \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} } \right) = 2{a^2}\\
\Leftrightarrow M{G^2} = \frac{{{a^2}}}{2} - G{A^2} = \frac{{{a^2}}}{8}\\
\Rightarrow MG = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}
\end{array}\)
Tập hợp các điểm M là mặt cầu tâm G bán kính \(\frac{{a\sqrt 2 }}{4}\).
Chọn (B).
-- Mod Toán 12
Copyright © 2021 HOCTAP247