Cho hình chóp S.ABC có bốn đỉnh đếu nằm trên một mặt cầu, SA = a, SB = b, SC = c và ba cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu được tạo bởi mặt cầu đó
Gọi I là tâm cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác S.ABC. Hạ IJ vuông góc (SAB), vì J cách đều 3 điểm S, A, B nên J cũng cách đều 3 điểm S, A, B.
Vì tam giác SAB vuông đỉnh S nên J là trung điểm của AB.
Ta có \(SJ = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}\sqrt {{a^2} + {b^2}} \).
Do SC vuông góc (SAB) nên IJ // SC.
Gọi H là trung điểm SC, ta có SH = IJ = \(\frac{c}{2}\).
Do vậy, \(IS^2 = IJ^2 + SJ^2 = \frac{(a^2 + b^2 + c^2)}{4}\) và bán kính hình cầu ngoại tiếp S.ABC là
\(r=IS=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)
Diện tích mặt cầu là:
\(S = 4 \pi r^2 = \pi (a^2 + b^2 + c^2)\) (đvdt)
Thể tích khối cầu là:
\(V=\frac{4}{3}\pi ^3=\frac{1}{6}\pi (a^2+b^2+c^2)^{\frac{3}{2}}= \frac{1}{6}\pi (a^2+b^2+c^2)\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)(đvtt)
-- Mod Toán 12
Copyright © 2021 HOCTAP247