Bài tập 2.15 trang 60 SBT Hình học 12
Bài tập 2.15 trang 60 SBT Hình học 12
Cho hai đường thẳng chéo nhau Δ và Δ′ có AA' là đoạn vuông góc chung, trong đó A ∈ Δ và A′ ∈ Δ′. Gọi \((\alpha )\) là mặt phẳng chứa AA’ và vuông góc với Δ′ và cho biết AA’ = a. Một đường thẳng thay đổi luôn luôn song song với mặt phẳng \((\alpha )\) lần lượt cắt Δ và Δ′ tại M và M’. Hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng \((\alpha )\) là M1.
a) Xác định tâm O và bán kính r của mặt cầu đi qua 5 điểm A, A’ , M , M’, M1. Tính diện tích của mặt cầu tâm O nói trên theo a, x = A’M’ và góc \(\varphi = ({\rm{\Delta }},{\rm{\Delta '}})\)
b) Chứng minh rằng khi x thay đổi mặt cầu tâm O luôn luôn chứa một đường tròn cố định.
.png)
a) Theo giả thiết ta có: \(\widehat {A'M'M} = \widehat {A'AM} = \widehat {A'{M_1}M} = {90^0}\)
Do đó 5 điểm A, A’, M, M’, M1 cùng thuộc mặt cầu (S) tâm O, với O là trung điểm của A’M và có bán kính \(r = \frac{{A'M}}{2}\)
Mặt khác ta có A’M2 = A’A2 + AM2, trong đó \(\cos \varphi = \frac{{M{M_1}}}{{AM}}\) nên \(AM = \frac{{M{M_1}}}{{\cos \varphi }} = \frac{x}{{\cos \varphi }}\)
Do đó \(A'{M^2} = {a^2} + \frac{{{x^2}}}{{{{\cos }^2}\varphi }}\)
\( \Rightarrow A'M = \sqrt {\frac{{{a^2}{{\cos }^2}\varphi + {x^2}}}{{{{\cos }^2}\varphi }}} = \frac{1}{{\cos \varphi }}\sqrt {{a^2}{{\cos }^2}\varphi + {x^2}} \)
Mặt cầu tâm O có bán kính \(r = \frac{{A'M}}{2} = \frac{1}{{2\cos \varphi }}\sqrt {{a^2}{{\cos }^2}\varphi + {x^2}} \)
Diện tích của mặt cầu tâm O là: \(S = 4\pi {r^2} = \pi {(2r)^2} = \pi {(A'M)^2} = \pi ({a^2} + \frac{{{x^2}}}{{{{\cos }^2}\varphi }})\)
b) Gọi I là trung điểm của đoạn AA’. Ta có IO // Δ nên tâm O di động trên đường thẳng d cố định đi qua I và song song với Δ.
Mặt cầu tâm O đi qua hai điểm cố định A, A’, có tâm di động trên đường trung trực d cố định của đoạn AA’.
Vậy mặt cầu tâm O luôn luôn chứa đường tròn cố định tâm I có đường kính AA’ nằm trong mặt phẳng AA’ và vuông góc với d.
-- Mod Toán 12
Copyright © 2021 HOCTAP247