Bài tập 8 trang 49 SGK Hình học 12

Bài tập 8 trang 49 SGK Hình học 12

Giả sử tứ diện ABCD có mặt cầu tiếp xúc với cả 6 cạnh của tứ diện; tiếp xúc với AB, BC, CA lần lượt tại C₀, A₀, B₀; tiếp xúc với DA, DB, DC lần lượt tại B₁, C₁, A₁. Vì các đoạn thẳng kẻ từ một điểm đến tiếp điểm của các tiếp tuyến đó bằng nhau, nên ta có:

                           \(\left\{\begin{matrix} AC_{0}= AB_{0} = AB_{1}\\ BC_{0}= BA_{0}= BC_{1}\\ CB_{0}= CA_{0}= CA_{1}\\ DA_{1} = DB_{1} = DC_{1}\\ \end{matrix}\right.\)

Ta chứng minh: AB + CD = AC +BD = AD + BC.

Ta có AB + CD = AC₀ + C₀B + CA₁ + A₁D = AB₀ + BC₁ + CB₀ + C₁D

                      = AB₀ + B₀C + BC₁ + C₁D = AC + BD.

Đẳng thức AC + BD = AD + BC được chứng minh tương tự.

-- Mod Toán 12