Bài tập 2.13 trang 60 SBT Hình học 12
Bài tập 2.13 trang 60 SBT Hình học 12
Trong mặt phẳng \((\alpha )\) cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Trên đường thẳng Ax vuông góc với \((\alpha )\) ta lấy một điểm S tùy ý, dựng mặt phẳng \((\beta )\) đi qua A và vuông góc với đường thẳng SC. Mặt phẳng \((\beta )\) cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’.
a) Chứng minh rằng các điểm A, B, C, D, B’, C’, D’ luôn luôn thuộc một mặt cầu cố định.
b) Tính diện tích của mặt cầu đó và tính thể tích khối cầu được tạo thành.
.png)
a) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}
BC \bot AB\\
BC \bot SA
\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AB\prime \)
Ta lại có AB′⊥SC nên suy ra AB′⊥(SBC). Do đó AB′⊥B′C
Chứng minh tương tự ta có AD′⊥D′C.
Vậy \(\widehat {ABC} = \widehat {AB'C} = \widehat {AC'C} = \widehat {AD'C} = \widehat {ADC} = {90^0}\)
Từ đó suy ra 7 điểm A, B, C, D, B’, C’, D’ cùng nằm trên mặt cầu đường kính là AC.
b) Gọi r là bán kính mặt cầu, ta có \(r = \frac{{AC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
Vậy \(S = 4\pi {r^2} = 4\pi {(\frac{{a\sqrt 2 }}{2})^2} = 2\pi {a^2}\) và \(V = \frac{4}{3}\pi {r^3}\)
-- Mod Toán 12
Copyright © 2021 HOCTAP247