Bài tập 5 trang 63 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 5 trang 63 SGK Hình học 12 NC
Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = c, AC = b . Gọi V1, V2, V3 là thể tích các khối tròn xoay sinh bởi tam giác đó (kể cả các điểm trong) khi lần lượt quay quanh AB, AC, BC.
a) Tính V1, V2, V3 theo b, c
b) Chứng minh rằng \(\frac{1}{{V_3^2}} = \frac{1}{{V_1^2}} + \frac{1}{{V_2^2}}\)
a) Khi quay tam giác ABC quanh AB ta được khối nón có chiều cao AB = c và bán kính đáy AC = b nên có thể tích \({V_1} = \frac{1}{3}\pi c{b^2}\)
Tương tự khi quay tam giác ABC quanh AC ta được khối nón có thể tích \({V_2} = \frac{1}{3}\pi b{c^2}\)
Gọi AH là chiều cao của tam giác ABC. Khi quay tam giác ABC quanh BC ta được hai khối nón sinh bởi hai tam giác ABH và ACH.
Khi đó ta có
\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
{V_3} = \frac{1}{3}\pi A{H^2}.BH + \frac{1}{3}\pi A{H^2}.CH\\
= \frac{1}{3}\pi AH.BC
\end{array}\\
\begin{array}{l}
= \frac{1}{3}\pi {(bc\sqrt {{b^2} + {c^2}} )^2}\sqrt {{b^2} + {c^2}} \\
= \frac{1}{3}\frac{{\pi {b^2}{c^2}}}{{\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}
\end{array}
\end{array}\)
b) Ta có:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{1}{{V_3^2}} = \frac{{9({b^2} + {c^2})}}{{\pi {b^4}{c^4}}}}\\
\begin{array}{l}
\frac{1}{{V_1^2}} + \frac{1}{{V_2^2}} = \frac{9}{{\pi {c^2}{b^4}}} + \frac{9}{{\pi {b^2}{c^4}}}\\
= \frac{{9({b^2} + {c^2})}}{{\pi {b^4}{c^4}}} = \frac{1}{{V_3^2}}
\end{array}
\end{array}\)
-- Mod Toán 12
Copyright © 2021 HOCTAP247