Bài tập 2.4 trang 47 SBT Hình học 12

Bài tập 2.4 trang 47 SBT Hình học 12

Gọi r là bán kính đáy của hình nón ta có \(OA = r,SO = h\) và \(SA = SB = SC = SD = l\) là đường sinh của hình nón.

Gọi I là trung điểm của đoạn AB, ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{S{A^2} = S{O^2} + O{A^2}}\\
{AI = SA.\cos \alpha }
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{l^2} = {h^2} + {r^2}\,\,\left( 1 \right)\\
\frac{{r\sqrt 2 }}{2} = lcos\alpha \,\,\left( 2 \right)
\end{array} \right.\)

\((2) \Rightarrow r = \sqrt 2 l\cos \alpha \)

\((1) \Rightarrow {l^2} = {h^2} + 2{l^2}{\cos ^2}\alpha  \Rightarrow {h^2} = {l^2}(1 - 2{\cos ^2}\alpha )\)

\( \Rightarrow {l^2} = \frac{{{h^2}}}{{1 - 2{{\cos }^2}\alpha }} \Rightarrow l = \frac{h}{{\sqrt {1 - 2{{\cos }^2}\alpha } }}\)

Do đó \(r = \sqrt 2 l\cos \alpha  = \frac{{\sqrt 2 h\cos \alpha }}{{\sqrt {1 - 2{{\cos }^2}\alpha } }}\)

\({S_{xq}} = \pi rl = \pi .\frac{{\sqrt 2 h\cos \alpha }}{{\sqrt {1 - 2{{\cos }^2}\alpha } }}.\frac{h}{{\sqrt {1 - 2{{\cos }^2}\alpha } }} = \frac{{\pi \sqrt 2 {h^2}\cos \alpha }}{{1 - 2{{\cos }^2}\alpha }}\)

-- Mod Toán 12