Bài tập 3 trang 63 SGK Hình học 12 NC

Bài tập 3 trang 63 SGK Hình học 12 NC

a) Gọi M là trung điểm của AB ta có: OM ⊥ AB và O′M ⊥ AB ⇒ AB ⊥ (OO′M)

Gọi Δ, Δ′ lần lượt là trục của đường tròn (O;r) và (O′;r′) thì AB ⊥ Δ, AB ⊥ Δ′. Do đó Δ, Δ′ cùng nằm trong mp (OO′M)

Gọi I là giao điểm của Δ và Δ′ thì I là tâm của mặt cầu (S) đi qua hai đường tròn (O;r) và (O′;r′) và S có bán kính R = IA.

b) Ta có: \(MA = MB = 3,OA = r = 5,OA\prime  = r\prime  = \sqrt {10} \)

\(\begin{array}{l}
OM = \sqrt {O{A^2} - A{M^2}}  = \sqrt {25 - 9}  = 4\\
O\prime M = \sqrt {O\prime {A^2} - A{M^2}}  = \sqrt {10 - 9}  = 1
\end{array}\)

Áp dụng định lí Cosin trong ΔOMO′ ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{OO{\prime ^2} = O{M^2} + O\prime {M^2} - 2OM.O\prime M.\cos \widehat {OMO\prime }}\\
\begin{array}{l}
 \Rightarrow 21 = 16 + 1 - 2.4.1.\cos \widehat {OMO\prime }\\
 \Rightarrow \cos \widehat {OMO\prime } =  - \frac{1}{2}
\end{array}\\
{\widehat {OMO\prime } = {{120}^0},\widehat {OIO\prime } = {{60}^0}}
\end{array}\)

Áp dụng định lí Côsin trong tam giác OMO′ ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{M{O^2} = MO{\prime ^2} + OO{\prime ^2} - 2MO\prime .OO\prime .\cos \widehat {MO\prime O}}\\
{ \Rightarrow \cos \widehat {MO\prime O} = \frac{{\sqrt {21} }}{7} \Rightarrow \sin \widehat {OO\prime I} = \frac{{\sqrt {21} }}{7}}
\end{array}\)

Áp dụng định lí Cosin trong tam giác OIO′ ta có: 

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
\frac{{OI}}{{\sin \widehat {OO\prime I}}} = \frac{{OO\prime }}{{\sin \widehat {OIO\prime }}}\\
 \Leftrightarrow \frac{{OI}}{{\frac{{\sqrt {21} }}{7}}} = \frac{{\sqrt {21} }}{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}} \Leftrightarrow OI = 2\sqrt 3 
\end{array}\\
{ \Rightarrow R = \sqrt {O{A^2} + O{I^2}}  = \sqrt {25 + 12}  = \sqrt {37} }
\end{array}\)

-- Mod Toán 12