Chương 2: Hàm Số Lũy Thừa Hàm Số Mũ Và Hàm Số Lôgarit

Tính:

a) \(9^{\frac{2}{5}}.27^{\frac{2}{5}}\) .

b) \(144^{\frac{3}{4}}: 9^{\frac{3}{4}}\) .

c) \(\left ( \frac{1}{16} \right )^{-0,75}+\left ( 0,25 \right )^{\frac{-5}{2}}\) .

d) \(\left ( 0,04 \right )^{-1,5}-\left ( 0,125 \right )^{\frac{-2}{3}}\) .

Cho a, b là những số thực dương. Viết các biểu thức dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ: 

a) \(a^{\frac{1}{3}}.\sqrt{a}\).

b) \(b^{\frac{1}{2}}.b ^{\frac{1}{3}}. \sqrt[6]{b}\).

c) \(a^{\frac{4}{3}}:\sqrt[3]{a}\).

d) \(\sqrt[3]{b}: b^{\frac{1}{6}}\).

Viết các số sau theo thứ tự tăng dần:

a) \(1^{3,75}\) ; \(2^{-1}\) ; .

b) \(98^{0}\) ; \(\left ( \frac{3}{7} \right )^{-1}\) ; .

Chứng minh rằng: 

a) \(\left ( \frac{1}{3} \right )^{2\sqrt{5}} <\left ( \frac{1}{3} \right )^{3\sqrt{2}}\). 

b) \(7^{\sqrt[6]{3}}> 7^{\sqrt[3]{6}}\).

 Cho a, b là những số thực dương. Rút gọn các biểu thức sau:

a) \(\frac{a^{\frac{4}{3}}\left ( a^{\frac{-1}{3}}+ a^{\frac{2}{3}} \right )}{a^{\frac{1}{4}}\left ( a^{\frac{3}{4}}+ a^{\frac{-1}{4}} \right )}\).

b) \(\frac{b^{\frac{1}{5}}\left ( \sqrt[5]{b^{4}}- \sqrt[5]{b^{-1}} \right )}{b^{\frac{2}{3}}\left (\sqrt[3]{b}- \sqrt[3]{b^{-2}} \right )}\).

c) \(\frac{a^\frac{1}{3}.b^{-\frac{1}{3}}-a^{-\frac{1}{3}}.b^\frac{1}{3}}{\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{b^2}}\).

d) \(\frac{a^\frac{1}{3}.\sqrt{b}+b^{\frac{1}{3}}.\sqrt{a}}{\sqrt[6]{a^2}+\sqrt[6]{b^2}}\).

Tìm tập xác định của các hàm số:

a)  \(\small y=\left ( 1-x \right )^{\frac{-1}{3}}\).

b)  \(y=\left ( 2-x^{2} \right )^{\frac{3}{5}}\).

c)  \(y=\left ( x^{2}-1 \right )^{-2}\).

d)  \(y=\left ( x^{2}-x-2\right )^{\sqrt{2}}\).

Tìm các đạo hàm của các hàm số:

a)  \(\small y=\left ( 2x^{2} -x+1\right )^{\frac{1}{3}}\).

b) \(y=\left ( 4-x-x^{2}\right )^{\frac{1}{4}}\).

c)  \(y=\left ( 3x+1\right )^{\frac{\pi }{2}}\).

d) \(y=\left ( 5-x\right )^{\sqrt{3}}\).

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:

a) \(y=x^\frac{4}{3}\).

b) \(\small y=x^{-3}\).

Hãy so sánh các số sau với 1:

a) \(\left ( 4,1 \right )^{2,7}\).

b) \(\left ( 0,2 \right )^{0,3}\).

c) \(\left ( 0,7 \right )^{3,2}\).

d) \(\left ( \sqrt{3} \right )^{0,4}\).

Hãy so sánh các cặp số sau:

a) \(\left ( 3,1 \right )^{7,2}\) và \(\left ( 4,3 \right )^{7,2}\);

b) \(\left ( \frac{10}{11} \right )^{2,3}\) và \(\left ( \frac{12}{11} \right )^{2,3}\);

c) \(\left ( 0,3 \right )^{0,3}\) và \(\left ( 0,2 \right )^{0,3}\).

Không sử dụng máy tính, hãy tính:

a) \(log_{2}\frac{1}{8}\).

b) \(log_{\frac{1}{4}}2\).

c) \(log_{3}\sqrt[4]{3}\).

d) .

Tính:

a) \(4^{log_{2}3}\).

b) \(27^{log_{9}2}\).

c) \(9^{log_{\sqrt{3}}2}\).

d) \(4^{log_{{8}}27}\).

Rút gọn biểu thức:

a) \(log_36. log_89. log_62\).

b) \(log_ab^2+log_{a^{2}}b^{4}\).

a) Cho a = log₃₀3, b = log₃₀5. Hãy tính log₃₀1350 theo a, b.

b) Cho c = log₁₅3. Hãy tínhlog₂₅15 theo c.

Vẽ đồ thị của các hàm số:

a) \(\small y = 4^x\).

b) \(y=\left ( \frac{1}{4} \right )^{x}\).

Tính đạo hàm của các hàm số:

a) \(\small y = 2xe^x + 3sin2x.\)

b) \(\small y = 5x^2 - 2xcosx.\)

c) \(y=\frac{x+1}{3^{x}}\).

Tìm tập xác định của các hàm số:

a) \(y= log_2(5-2x)\).

b) \(y= log_3(x^2-2x)\).

c)  \(y=log_{\frac{1}{5}}\left ( x^{2} -4x+3 \right )\).

d) \(\small y=log_{0,4}\frac{3x+1}{1-x}\).

Vẽ đồ thị của các hàm số:

a) \(y = logx\).

b) \(y=log_{\frac{1}{2}}x\).

a) \(\small y= 3x^2 - lnx + 4sinx.\)

b) \(\small y= log(x^2+ x + 1)\) .

c) \(y=\frac{log_{3}x}{x}\).

Giải các phương trình mũ:

a) \(\small (0,3)^{3x-2} = 1.\)

b) \(\left ( \frac{1}{5} \right )^{x}=25\).

c) \(2^{x^{2}-3x+2}=4\).

d) \((0,5)^{x+7}.(0,5)^{1-2x} = 2.\)

Giải các phương trình mũ:

a) 3^{2x – 1} + 3^2x = 108.

b) 2^x+1 + 2^{x - 1} + 2^x = 28.

c) 64^x – 8^x – 56 = 0.

d) 3.4^x – 2.6^x = 9^x.

Giải các phương trình lôgarit:

a) log₃(5x + 3) = log₃( 7x + 5).

b) log(x – 1) – log(2x -11) = log2.

c) log₂(x- 5) + log₂(x + 2) = 3.

d) log(x² – 6x + 7) = log(x – 30)

Giải các phương trình lôgarit:

a) \(\small \frac{1}{2}log(x^2 + x -5) = log5x +log\frac{1}{5x}\).

b) \(\small \frac{1}{2}log(x^2 - 4x - 1) = log8x - log4x\).

c) \(log_{\sqrt{2}}x+ 4log_4x + log_8x = 13.\) 

Giải các bất phương trình mũ:

a) \(\small 2^{-x^{2}+3x}<4\) .

b) \(\left ( \frac{7}{9} \right )^{2x^{2}-3x}\geq \frac{9}{7}\) .

c) \(3^{x+2} + 3^{x-1} \leq 28\).

d) \(4^x - 3.2^x + 2 > 0.\)

Giải các bất phương trình lôgarit:

a) \(\small log_8(4- 2x) \geq 2\).

b) \(log_{\frac{1}{5}}(3x - 5)>log_{\frac{1}{5}}(x +1)\).

c) \(log_{{0,2}}x - log_5(x- 2) < log_{0,2}3\).

d) \(log_{3}^{2}x- 5log_3x + 6 \leq 0\) .

Hãy nên các tính chất của luỹ thừa với số mũ thực.​

Hãy nên các tính chất của hàm số luỹ thừa.

Hãy nêu các tính chất của hàm số mũ và hàm số logarit. 

Tìm tập xác định của các hàm số

a) \(y=\frac{1}{3^x-3}.\)

b) \(y=log\frac{x-1}{2x-3}.\)

c) \(y=log\sqrt{x^2-x-12}.\)

d) \(y=\sqrt{25^x-5^x}\).

Biết 4^x + 4^-x = 23. Hãy tính: 2^x + 2^-x

Cho \(log_ab=3, log_ac=-2\). Tính \(log_ax\) với:

a) \(x=a^3b^2\sqrt{c};\)

b) \(x=\frac{a^4\sqrt[3]{b}}{c^3}\).

Giải các phương trình sau:

a) 3^x+4 + 3.5^x+3 = 5^x+4 + 3^x+3

b) 25^x – 6.5^x + 5 = 0

c) 4.9^x + 12^x – 3.16^x = 0

d) log₇ (x-1). log₇x = log₇x

e) \(log_3x+log_{\sqrt{3}}x+log_\frac{1}{3}x=6\)

g) \(log\frac{x+8}{x-1}=logx\)

Giải các bất phương trình:

a) 2^2x-1+ 2x^2x-2 + 2^2x-3 ≥ 448

b) (0,4)^x – (2,5)^x+1 > 1,5

c) \(log_3\left [ log_\frac{1}{2}(x^2-1) \right ]<1\)

d) \(log_{0,2}^2x-5log_{0,2}x < -6\)

Tập xác định của hàm số \(y= log \frac{x-2}{1-x}\) là:

(A) (\(-\infty\), 1) ∪ (2, \(+\infty\))                 (B) (1, 2)

(C) R\{1}                                         (D) R\{1, 2}

Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau đây:

(A) ln x > 0 ⇔ x > 1

(B) log₂ x < 0 ⇔ 0< x < 1

(C) \(log_{\frac{1}{3}}a>log_{\frac{1}{3}}b\Leftrightarrow a>b>0\)

(D) \(log_{\frac{1}{2}}a=log_{\frac{1}{2}}b\Leftrightarrow a=b>0\)

Cho hàm số f(x) = ln (4x – x²). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây:

(A) f’ (2) = 1                                     (B). f’(2) = 0

(C) f’(5) = 1,2                                   (D). f’(-1) = -1,2

Cho hàm số \(g(x)=log_{\frac{1}{2}}(x^2-5x+7)\). Nghiệm của bất phương trình là g(x) > 0 là:

(A) x > 3                                                    (B)  x < 2 hoặc x > 3

(C) 2 < x < 3                                               (D) x < 2

Trong các hàm số \(f(x)=ln\frac{1}{sinx}; g(x)=ln\frac{1+sin x}{cosx};h(x)=ln\frac{1}{cosx}\)

Hàm số có đạo hàm là \(\frac{1}{cosx}\)?

(A) f(x)                              (B) g(x)                         

(C) h(x)                            (D) g(x) và h(x)

Số nghiệm của phương trình \(2^{2x^2-7x+5}=1\) là:

(A). 0                      (B). 1                     (C). 2                                  (D). 3

Nghiệm của phương trình 10^log9 = 8x + 5 là

A. 0         B.  \(\frac{1}{2}\)                   (C). \(\frac{5}{8}\)                   (D). \(\frac{7}{4}\)

Cho a và b là các số dương. Đơn giản các biểu thức sau:

a) \(\frac{{{a^{\frac{4}{3}}}\left( {{a^{ - \frac{1}{3}}} + {a^{\frac{2}{3}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{4}}}\left( {{a^{\frac{3}{4}}} + {a^{ - \frac{1}{4}}}} \right)}}\)

b) \(\frac{{{a^{\frac{1}{3}}}\sqrt b  + {b^{\frac{1}{3}}}\sqrt a }}{{\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}}}\)

c) \(\left( {\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} \right)\left( {{a^{\frac{2}{3}}} + {b^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{{ab}}} \right)\)

d) \(\left( {{a^{\frac{1}{3}}} + {b^{\frac{1}{3}}}} \right):\left( {2 + \sqrt[3]{{\frac{a}{b}}} + \sqrt[3]{{\frac{b}{a}}}} \right)\)

Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau :

A. \({2^{ - 2}} < 1\)

B. \({(0,013)^{ - 1}} > 75\)

C. \({\left( {\frac{\pi }{4}} \right)^{\sqrt 5  - 2}} > 1\)

D. \({\left( {\frac{1}{3}} \right)^{\sqrt 8  - 3}} < 3\)

Tìm x, sao cho \({x^{ - 4}} = 16\).

A. x = 2

B. x = −2

C. \(x = \frac{1}{2}\)

D. x = 4

a) Cho \(a = {\log _3}15,b = {\log _3}10\). Hãy tính \({\log _{\sqrt 3 }}50\), theo a và b

b) Cho \(a = {\log _2}3,b = {\log _3}5,c = {\log _7}2\). Hãy tính \({\log _{140}}63\) theo a, b, c.

Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau :

A. \({\log _3}\frac{6}{5} < {\log _3}\frac{5}{6}\)

B. \({\log _{\frac{1}{3}}}17 > {\log _{\frac{1}{3}}}9\)

C. \({\log _{\frac{1}{2}}}e < {\log _{\frac{1}{2}}}\pi \)

D. \({\log _2}\frac{{\sqrt 5 }}{2} > {\log _2}\frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

Tính giá trị bằng số của biểu thức \(\ln \frac{1}{e}\)

A. 1

B. - 1

C. \(\frac{1}{e}\)

D. \(-\frac{1}{e}\)

Tính giá trị bằng số của biểu thức \({9^{{{\log }_3}2}}\)

A. 2

B. 4

C. \(\frac{1}{3}\)

D. \(\frac{1}{2}\)

Tính giá trị bằng số của biểu thức \({4^{{{\log }_{\sqrt 2 }}3}}\)

A. 81

B. 9

C. \(\frac{1}{3}\)

D. \(\frac{1}{{27}}\)

Tìm số dương trong các số sau đây.

A. \({\log _{\frac{2}{e}}}1,25\)

B. \({\log _{\frac{1}{3}}}0,25\)

C. \(\ln \frac{1}{{{e^2}}}\)

D. \({\log _{\frac{1}{e}}}3\)

Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau:

A. \({\log _2}3 > {\log _3}2\)

B. \({\log _{\frac{1}{2}}}4 = {\log _3}\frac{1}{9}\)

C. \({\log _4}3 < {\log _3}4\)

D. \({\log _2}3 < {\log _3}4\)

Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị của mỗi cặp hàm số sau 
a) \(y = {2^x}\) và y = 8
b) \(y = {3^x}\) và \(y = \frac{1}{3}\)
c) \(y = {\left( {\frac{1}{4}} \right)^x}\) và \(y = \frac{1}{{16}}\)

Sử dụng tính chất đồng biến, nghịch biến của hàm số mũ, hãy so sánh mỗi cặp số sau :
a) \({(1,7)^3}\) và 1
b) \({(0,3)^2}\) và 1
c) \({(3,2)^{1,5}}\) và \({(3,2)^{1,6}}\)
d) \({(0,2)^{ - 3}}\) và \({(0,2)^{ - 2}}\)
e) \({\left( {\frac{1}{5}} \right)^{\sqrt 2 }}\) và \({\left( {\frac{1}{5}} \right)^{1,4}}\)
f) \({6^\pi }\) và \({6^{3,14}}\)

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số \(y = {2^{|x|}}\) trên đoạn [−1;1]

Tìm tập xác định của các hàm số sau :
a) \(y = {\log _8}({x^2} - 3x - 4)\)

b) \(y = {\log _{\sqrt 3 }}( - {x^2} + 5x + 6)\)

c) \(y = {\log _{0,7}}\frac{{{x^2} - 9}}{{x - 5}}\)

d) \(y = {\log _{\frac{1}{3}}}\frac{{x - 4}}{{x + 4}}\) 

e) \(y = {\log _\pi }({2^x} - 2)\)

f) \(y = {\log _3}({3^{x - 1}} - 9)\)

Tính đạo hàm của các hàm số cho ở bài tập 2.32

a) \(y = {\log _8}({x^2} - 3x - 4)\)

b) \(y = {\log _{\sqrt 3 }}( - {x^2} + 5x + 6)\)

c) \(y = {\log _{0,7}}\frac{{{x^2} - 9}}{{x - 5}}\)

d) \(y = {\log _{\frac{1}{3}}}\frac{{x - 4}}{{x + 4}}\) 

e) \(y = {\log _\pi }({2^x} - 2)\)

f) \(y = {\log _3}({3^{x - 1}} - 9)\)

Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng ?

A. \(y = {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^x}\)

B. \(y = {\left( {\frac{e}{3}} \right)^x}\)

C. \(y = {\left( {\frac{\pi }{4}} \right)^x}\)

D. \(y = {\left( {\frac{3}{e}} \right)^x}\)

Với giá trị nào của x$x$ thì đồ thị hàm số \(y = {4^x}\) nằm phía trên đường thẳng y = 1?

A. x > 0

B. x < 0

C. x = 0

D. x<1

Với giá trị nào của x thì đồ thị hàm số \(y = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^x}\) mằm phía trên đường thẳng y = 1?

A. x > 0

B. x < 0

C. x = 0

D. x < 1

Tìm x, biết \({2^x} = 64\)

A. x = 4

B. x = 5

C. x = 6

D. x = 8

Tìm x, biết \({3^x} = \frac{1}{{81}}\)

A. x = 4

B. x = −4

C. x = 3

D. x = −3

Tìm x, biết \({9^x} = \frac{1}{3}\)

A. x = −2

B. x = 2

C. \(x = \frac{1}{2}\)

D. \(x = - \frac{1}{2}\)

Tìm x, biết \({(\sqrt 3  - \sqrt 2 )^x} = \sqrt 3  + \sqrt 2 \)

A. x = 1

B. x = 2

C. \(x = \frac{1}{2}\)

D. x = −1

 Trong các hàm số sau đây, hàm số nào đồng biến ?

A. \(y = {\log _{\frac{1}{e}}}x\)

B. \(y = {\log _{\frac{\pi }{3}}}x\)

C. \(y = {\log _{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}}x\)

D. \(y = {\log _{\frac{e}{3}}}x\)

Giải các phương trình mũ sau:

a) \({2^{x + 4}} + {2^{x + 2}} = {5^{x + 1}} + {3.5^x}\)

b) \({5^{2x}} - {7^x} - {5^{2x}}.17 + {7^x}.17 = 0\)

c) \({4.9^x} + {12^x} - {3.16^x} = 0\)

d) \( - {8^x} + {2.4^x} + {2^x} - 2 = 0\)

Giải các phương trình lôgarit sau:

a) \({{{\log }_2}\left( {{2^x} + 1} \right).{{\log }_2}\left( {{2^{x + 1}} + 2} \right) = 2}\)

b) \({{x^{\log 9}} + {9^{\log x}} = 6}\)

c) \({{x^{\log 9}} + {9^{\log x}} = 6}\)

d) \({1 + 2{{\log }_{x + 2}}5 = {{\log }_5}\left( {x + 2} \right)}\)

Tìm tập nghiệm của phương \({25^x} - {6.5^x} + 5 = 0\)

A. {1;2}

B. {0;1}

C. {0}

D. {1}

Tìm x, biết \({25^x} - {2.10^x} + {4^x} = 0\)

A. x = 1

B. ​​x = −1$$

C. x = 2

D. x = 2

Tìm tập hợp nghiệm của phương trình \({2^{{x^2} - 6x - \frac{5}{2}}} = 16\sqrt 2 \)

A. {1;7}

B. {−1;7}

C. {−1;−7}

D. \(\left\{ {1;\frac{1}{7}} \right\}\)

Số nghiệm của phương trình \({4^x} + {2^x} - 6 = 0\) là:

A. 0

B. 1

C. 2

D. Vô số

Phương trình nào sau đây vô nghiệm?

A. \({3^x} + {4^x} = {5^x}\)

B. \({2^x} + {3^x} + {4^x} = 3\)

C. \({2^x} + {3^x} = {5^x}\)

D. \({2^x} + {3^x} = 0\)

Phương trình \({\log _3}x + {\log _9}x = \frac{3}{2}\) có nghiệm là?

A. x = 1

B. \(x = \frac{1}{2}\)

C. \(x = \frac{1}{3}\)

D. x = 3

Phương trình \({\lg ^2}x - 3\lg x + 2 = 0\) có mấy nghiệm?

A. 0

B. 1

C. 2

D. vô nghiệm

Tập nghiệm của phương trình \({\log _2}[x(x - 1)] = 1\) là

A. {0;1}

B. {1;2}

C. {−1;2}

D. {−2;1}

Nghiệm của phương trình \({\log _4}\{ 2{\log _3}[1 + {\log _2}(1 + 3{\log _2}x)]\}  = \frac{1}{2}\) là

A. x = 1

B. x = 2

C. x = 3

D. x = 0

Giải các bất phương trình mũ sau :

a) \({3^{|x - 2|}} < 9\)

b) \({4^{|x + 1|}} > 16\)

c) \({2^{ - {x^2} + 3x}} < 4\)

d) \({\left( {\frac{7}{9}} \right)^{2{x^2} - 3x}} \ge \frac{9}{7}\)

e) \({11^{\sqrt {x + 6} }} \ge {11^x}\)

g) \({2^{2x - 1}} + {2^{2x - 2}} + {2^{2x - 3}} \ge 448\)

h) \({16^x} - {4^x} - 6 \le 0\)

i) \(\frac{{{3^x}}}{{{3^x} - 2}} < 3\)

Giải các bất phương trình logarit sau :

a) \({\log _{\frac{1}{3}}}(x - 1) \ge  - 2\)

b) \({\log _3}(x - 3) + {\log _3}(x - 5) < 1\)

c) \({\log _{\frac{1}{2}}}\frac{{2{x^2} + 3}}{{x - 7}} < 0\)

d) \({\log _{\frac{1}{3}}}{\log _2}{x^2} > 0\)

e) \(\frac{1}{{5 - \log x}} + \frac{2}{{1 + \log x}} < 1\)

g) \(4{\log _4}x - 33{\log _x}4 \le 1\)

Giải các bất phương trình sau bằng đồ thị

a) \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}\)

b) \({\left( {\frac{1}{3}} \right)^x} \ge x + 1\)

c) \({\log _{\frac{1}{3}}}x > 3x\)

d) \({\log _2}x \le 6 - x\)

Tìm x, biết \(\lg 2x < 1\)

A. x > 5

B. 0 < x < 5

C. x > 10

D. 0 < x < 10

Tìm tập hợp nghiệm của bất phương trình \({\log _3}\frac{{2x}}{{x + 1}} > 1\)

A. \(( - \infty ; - 3)\)

B. \(( - 1; + \infty )\)

C. \(( - \infty ; - 3) \cup ( - 1; + \infty )\)

D. (−3;−1)

Tìm tập xác định của các hàm số sau :

a) \(y = \frac{2}{{\sqrt {{4^x} - 2} }}\)

b) \(y = {\log _6}\frac{{3x + 2}}{{1 - x}}\)

c) \(y = \sqrt {\log x + \log \left( {x + 2} \right)} \)

d) \(y = \sqrt {\log \left( {x - 1} \right) + \log \left( {x + 1} \right)} \)

Tính đạo hàm của các hàm số sau :

a) \(y = \frac{1}{{{{(2 + 3x)}^2}}}\)

b) \(y = \sqrt[3]{{{{(3x - 2)}^2}}}\,\,\,\left( {x \ne \frac{2}{3}} \right)\)

c) \(y = \frac{1}{{\sqrt[3]{{3x - 7}}}}\)

d) \(y = 3{x^{ - 3}} - {\log _3}x\)

e) \(y = (3{x^2} - 2){\log _2}x\)

g) \(y = \ln (\cos x)\)

h) \(y = {e^x}\sin x\)

i) \(y = \frac{{{e^x} + {e^{ - x}}}}{x}\)

Giải các phương trình sau :

a) \({9^x} - {3^x} - 6 = 0\)

b) \({e^{2x}} - {3^{ex}} - 4 + 12{e^{ - x}} = 0\)

c) \({3.4^x} + \frac{1}{3}{.9^{x + 2}} = {6.4^{x + 1}} - \frac{1}{2}{.9^{x + 1}}\)

d) \({2^{{x^2} - 1}} - 3{x^2} = {3^{{x^2} - 1}} - {2^{{x^2} + 2}}\)

Giải các phương trình sau :

a) \(\ln (4x + 2) - \ln (x - 1) = \ln x\)

b) \({\log _2}(3x + 1){\log _3}x = 2{\log _2}(3x + 1)\)

c) \({2^{{{\log }_3}{x^2}}}{.5^{{{\log }_3}x}} = 400\)

d) \({\ln ^3}x - 3{\ln ^2}x - 4\ln x + 12 = 0\)

Giải các phương trình sau :

a) \({e^2} + \ln x = x + 3\)

b) \({3^{4 - \ln x}} = x\)

c) \((5 - x)\log (x - 3) = 0\)

Giải các bất phương trình mũ sau :

a) \({(8,4)^{\frac{{x - 3}}{{{x^2} + 1}}}} < 1\)

b) \({2^{|x - 2|}} > {4^{|x + 1|}}\)

c) \(\frac{{{4^x} - {2^{x + 1}} + 8}}{{{2^{1 - x}}}} < {8^x}\)

d) \(\frac{1}{{{3^x} + 5}} \le \frac{1}{{{3^{x + 1}} - 1}}\)

Giải các bất phương trình lôgarit sau :

a) \(\frac{{\ln x + 2}}{{\ln x - 1}} < 0\)

b) \(\log _{0,2}^2x - {\log _{0,2}}x - 6 \le 0\)

c) \(\log ({x^2} - x - 2) < 2\log (3 - x)\)

d) \(\ln |x - 2| + \ln |x + 4| \le 3\ln 2\)

Giải các bất phương trình sau :

a) \((2x - 7)\ln (x + 1) > 0\)

b) \((x + 5)(\log x + 1) < 0\)

c) \(2\log _2^3x + 5\log _2^2x + {\log _2}x - 2 \ge 0\)

d) \(\ln (3{e^x} - 2) \le 2x\)

Tìm số tự nhiên n bé nhất sao cho : 

a) \({{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n} \le {{10}^{ - 9}}}\)

b) \({3 - {{\left( {\frac{7}{5}} \right)}^n} \le 0}\)

c) \({1 - {{\left( {\frac{4}{5}} \right)}^n} \ge 0,97}\)

d) \({{{\left( {1 + \frac{5}{{100}}} \right)}^n} \ge 2}\)

Nếu \({a^{\frac{{\sqrt 3 }}{3}}} > {a^{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}}\) và \({\log _b}\frac{3}{4} < {\log _b}\frac{4}{5}\) thì:

A. 0 < a < 1, b > 1

B. 0 < a < 1, 0 < b < 1

C. a > 1, b > 1

D. a > 1, 0 < b < 1

Hàm số \(y = {x^2}{e^{ - x}}\) tăng trong khoảng 

A. \({\left( { - \infty ;0} \right)}\) 

B. \({\left( {2; + \infty } \right)}\)

C. \({\left( {0;2} \right)}\)

D. \({\left( { - \infty ; + \infty } \right)}\)

Hàm số \(y = \ln \left( {{x^2} - 2mx + 4} \right)\) có tập xác định D = R khi :

A. m = 2

B. m > 2 hoặc m < −2

C. m < 2

D. −2 < m < 2

Đạo hàm của hàm số y=x(lnx−1)$y=x(\ln x-1)$ là:

A. \(\ln x - 1\)

B. \(\ln x\)

C. \(\frac{1}{x} - 1\)

D. 1

Nghiệm của phương trình \({\log _2}\left( {{{\log }_4}x} \right) = 1\) là:

A. 2

B. 4

C. 8

D. 16

Tập nghiệm của bất phương trình \({\log _2}\left( {{3^x} - 2} \right) < 0\) là :

A. x > 1

B. x < 1

C. 0 < x < 1

D. \({{{\log }_3}2 < x < 1}\)

Tập nghiệm của phương trình \({3^x} \ge 5 - 2x\) là :

Cho hàm số \(y = \frac{{\ln x}}{x}\). Chọn khẳng định đúng.

A. Hàm số có một cực tiểu
B. Hàm số có một cực đại
C. Hàm số không có cực trị.
D. Hàm số có một cực đại và một cực tiểu.

 Phương trình \({3^{{x^2} - 2x + 1}} = 1\) có nghiệm là:

A. x = 1

B. x = 0

C. x = −1

D. \({x = \frac{1}{3}}\)

Tìm tập nghiệm của phương trình \({2^{{x^2} - x - 4}} - 4 = 0\)

A. {1;2}

B. {2;3}

C. {−2;3}

D. {2;−3}

Tìm tập nghiệm của phương trình \({x^{\lg 4}} + {4^{\lg x}} = 32\)

A. {100}

B. {10}

C. {100;10}

D. {4}

Tìm tập hợp nghiệm của phương trình \({\log _2}x + {\log _2}\left( {x - 1} \right) = 1\)
A. {1}

B. {2}

C. {1;2}

D. {−1;2}

Số nghiệm của phương trình \(\lg \left( {{x^2} - 6x + 7} \right) = \lg (x - 3)\) là:
A. 2

B. 1

C. 0

D. vô số

Tìm tập hợp nghiệm của phương trình \(\frac{{{{\log }_2}x}}{{{{\log }_4}2x}} = \frac{{{{\log }_8}4x}}{{{{\log }_{16}}8x}}\)
A. \({\left\{ 2 \right\}}\)

B. \({\left\{ {\frac{1}{4}} \right\}}\)

C. \({\left\{ {2;\frac{1}{4}} \right\}}\)

D. \({\left\{ {2;\frac{1}{{16}}} \right\}}\)

Tìm nghiệm của bất phương trình \(\frac{{{2^{2x}}}}{8} > 1\)

A. \({x > \frac{3}{2}}\)

B. \({x < \frac{3}{2}}\)

C. \({x > \frac{2}{3}}\)

D. \({x < \frac{2}{3}}\)

Tìm nghiệm của bất phương trình \(\frac{{{2^x}}}{2} < {2^{\sqrt {7 - x} }}\)
A. x < 3

B. \(x \ge 1\)

C. \(1 \le x < 3\)

D. x < 1

Tìm x, biết \({\left( {\sqrt 2 } \right)^x} = \sqrt[3]{2}\)
A. \({x = 3}\)

B. \({x = \frac{3}{2}}\)

C. \({x = \frac{2}{3}}\)

D. \({x = \frac{1}{6}}\)

Tìm tập hợp nghiệm của phương trình \({0,{{125.4}^{2x}} = {{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{8}} \right)}^{ - x}}}\)

A. {6}

B. {4}

C. {2}

D. {1}

Tìm tập hợp nghiệm của phương trình \({25^x} - {6.5^{x + 1}} + {5^3} = 0.\)
A. {1;2}

B. {5;25}

C. {−1;2}

D. {2;−1}

Tìm tập hợp nghiệm của phương trình \({5.4^x} - {7.10^x} + {2.25^x} = 0\)
A. \({\left\{ {1;\frac{1}{5}} \right\}}\)

B. \({\left\{ {1;\frac{5}{2}} \right\}}\)

C. {0;1}

D. {0;−1}

Tìm tập nghiệm của phương trình \({3^x}{.2^{{x^2}}} = 1\)
A. \({\left\{ {0;{{\log }_2}\left( {\frac{1}{3}} \right)} \right\}}\) 

B. \({\left\{ 0 \right\}}\)

C. \({\left\{ { - {{\log }_2}3} \right\}}\)

D. \({\left\{ {0;{{\log }_3}2} \right\}}\)

Tìm x, biết \({2^x} + {3^x} = {5^x}\)
A. x = 0

B. x = 1

C. x = −1

D. x = 2

Phương trình \(1 + {3^{\frac{x}{2}}} = {2^x}\) có bao nhiêu nghiệm ?
A. 0

B. 1

C. 2

D. Vô số

Tìm tập hợp nghiệm của phương trình \(\frac{1}{{25}}{.5^x} + x = 3\)
A. \({\left\{ {2;{{\log }_5}3} \right\}}\)

B. \({\left\{ {5;{{\log }_5}2} \right\}}\)

C. \({\left\{ {5;{{\log }_5}2} \right\}}\)

D. \({\left\{ 2 \right\}}\)

Tìm x, biết \({\log _2}x =  - 2\)
A. x = −4

B. \(x = \frac{1}{4}\)

C. \(x = -\frac{1}{4}\)

D. x = 4

Tìm tập hợp nghiệm của phương trình \({\log _3}x + {\log _9}x + {\log _{27}}x = 11\)
A. {18}

B. {27}

C. {729}

D. {11;1}

Tìm tập hợp nghiệm của phương trình \(\lg \left( {152 + {x^3}} \right) = \lg {\left( {x + 2} \right)^3}\)
A. {4}

B. {−6}

C. {4;−6}

D. {4;6}

Tìm x, biết \({\log _3}x + {\log _4}\left( {x + 1} \right) = 2\)
A. x = 1

B. x = 2

C. x = 3

D. x = 4

Số nghiệm của phương trình \({\log _{2003}}x + {\log _{2004}}x = 2005\) là
A. 0

B. 1

C. 2

D. Vô số

Tìm tập hợp nghiệm của bất phương trình \({\left( {\frac{1}{3}} \right)^{\frac{1}{x}}} < {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2}\)
A. \({\left( { - \infty ;\frac{1}{2}} \right)}\)

B. \({\left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)}\)

C. \({\left( {0;\frac{1}{2}} \right)}\)

D. \({\left( { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)}\)

Tìm x, biết \(\lg 2\left( {x + 1} \right) > 1\)
A. x > 4

B. −1 < x < 4

C. x > 9

D. −1 < x < 9

Tìm tập hợp nghiệm của bất phương trình \({\log _2}\frac{{3x}}{{x + 2}} > 1\)
A. \({\left( { - \infty ;2} \right)}\)

B. \({\left( {4; + \infty } \right)}\)

C. \({\left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {4; + \infty } \right)}\)

D. \({\left( { - 2;4} \right)}\)

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?

a) Với số thực a và các số nguyên m, n, ta có: \({a^m}.{a^n} = {a^{m.n}};\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m - n}}\)

b) Với hai số thực a, b cùng khác 0 và số nguyên n, ta có:

\({\left( {ab} \right)^n} = {a^n}.{b^n};{\left( {\frac{a}{b}} \right)^n} = \frac{{{a^n}}}{{{b^n}}}\)

c) Với hai số thực a, b thỏa mãn 0 < a < b và số nguyên n, ta có aⁿ < bⁿ

d) Với số thực a khác 0 và hai số nguyên m, n, ta có: Nếu m > n thì a^m > aⁿ

Xét khẳng định: “Với số thực a và hai số hữu tỉ r, s, ta có \({\left( {{a^r}} \right)^s} = {a^{rs}}\)

Với điều kiện nào trong các điều kiện sau thì khẳng định trên đúng?

(A) a bất kì         

(B) a ≠ 0               

(C) a > 0                

(D) a < 1.

Xét khẳng định: “Với số thực a và hai số hữu tỉ r, s, ta có \({\left( {{a^r}} \right)^s} = {a^{rs}}\)

Với điều kiện nào trong các điều kiện sau thì khẳng định trên đúng?

(A) a bất kì         

(B) a ≠ 0               

(C) a > 0                

(D) a < 1.

Viết các số sau dưới dạng số nguyên hay phân số tối giản:

\({7^{ - 1}}.14;\frac{4}{{{3^{ - 2}}}};{\left( {\frac{4}{5}} \right)^{ - 2}};\frac{{{{\left( { - 18} \right)}^2}.5}}{{{{15}^2}.3}}\)

Thực hiện phép tính:

a) \({81^{ - 0,75}} + {\left( {\frac{1}{{125}}} \right)^{\frac{{ - 1}}{3}}} - {\left( {\frac{1}{{32}}} \right)^{\frac{{ - 3}}{5}}};\)

b) \(0,{001^{\frac{{ - 1}}{3}}} - {\left( { - 2} \right)^{ - 2}}{.64^{\frac{2}{3}}} - {8^{ - 1\frac{1}{3}}} + {\left( {{9^0}} \right)^2}\)

c) \({27^{\frac{2}{3}}} + {\left( {\frac{1}{{16}}} \right)^{ - 0,75}} - {25^{0,5}}\)

d) \({( - 0,5)^{ - 4}} - {625^{0,25}} - {\left( {2\frac{1}{4}} \right)^{ - 1\frac{1}{2}}} + 19.{\left( { - 3} \right)^{ - 3}}\)

Đơn giản biểu thức ( với a, b là những số dương)

a) \(\frac{{{{\left( {\sqrt[4]{{{a^3}{b^2}}}} \right)}^4}}}{{\sqrt[3]{{\sqrt {{a^{12}}{b^6}} }}}}\)

b) \(\frac{{{a^{\frac{1}{3}}} - {a^{\frac{7}{3}}}}}{{{a^{\frac{1}{3}}} - {a^{\frac{4}{3}}}}} - \frac{{{a^{ - \frac{1}{3}}} - {a^{\frac{5}{3}}}}}{{{a^{\frac{2}{3}}} + {a^{ - \frac{1}{3}}}}}\)

So sánh các số

a) \(\sqrt 2 \) và \(\sqrt[3]{3}\)

b) \(\sqrt 3  + \sqrt[3]{{30}}\) và \(\sqrt[3]{{63}}\)

c) \(\sqrt[3]{7} + \sqrt {15} \) và \(\sqrt {10}  + \sqrt[3]{{28}}\)

So sánh các số

a) \(\sqrt 2 \) và \(\sqrt[3]{3}\)

b) \(\sqrt 3  + \sqrt[3]{{30}}\) và \(\sqrt[3]{{63}}\)

c) \(\sqrt[3]{7} + \sqrt {15} \) và \(\sqrt {10}  + \sqrt[3]{{28}}\)

Chứng minh \(\sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }} + \sqrt[3]{{7 - 5\sqrt 2 }} = 2\)

Đơn giản biểu thức

a) \(\frac{{\sqrt a  - \sqrt b }}{{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}}} - \frac{{\sqrt a  + \sqrt[4]{{ab}}}}{{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}}\)

b) \(\frac{{a - b}}{{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}}} - \frac{{a + b}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}}\)

c) \(\left( {\frac{{a + b}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}} - \sqrt[3]{{ab}}} \right):{\left( {\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} \right)^2}\)

d) \(\frac{{a - 1}}{{{a^{\frac{3}{4}}} + {a^{\frac{1}{2}}}}}.\frac{{\sqrt a  + \sqrt[4]{a}}}{{\sqrt a  + 1}}.{a^{\frac{1}{4}}} + 1\)

Từ tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương, chứng minh:

\(\sqrt[n]{{ab}} = \sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b},\left( {a \ge 0,b \ge 0} \right)\), n nguyên dương

Chứng minh

a) \(\sqrt {4 + 2\sqrt 3 }  - \sqrt {4 - 2\sqrt 3 }  = 2\)

b) \(\sqrt[3]{{9 + \sqrt {80} }} + \sqrt[3]{{9 - \sqrt {80} }} = 3\)

So sánh số

a) \({\left( {\sqrt 3 } \right)^{ - \frac{5}{6}}}\) và \(\sqrt[3]{{{3^{ - 1}}\sqrt[4]{{\frac{1}{3}}}}}\)

b) 3⁶⁰⁰ và 5⁴⁰⁰

c) \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - \frac{5}{7}}}\) và \(\sqrt 2 {.2^{\frac{3}{{14}}}}\)

d) 7³⁰ và 4⁴⁰

Xét mệnh đề: "Với các số thực x, a, b, nếu a^x < b^x ". Với điều kiện nào sau đây của x thì mệnh đề đó là đúng?

(A) x bất kì

(B) x > 0

(C) x < 0

Xét mệnh đề: "Với các số thực x, a, b, nếu a^x < a^y ". Với điều kiện nào sau đây của a thì mệnh đề đó là đúng?

(A) a bất kì

(B) a > 0

(C) a > 1

Cho các số thực a, x, y với x < y. Hãy tìm điều kiện của a để a^x > a^y

Tính các biểu thức: 

\({\left( {0,{5^{\sqrt 2 }}} \right)^{\sqrt 8 }};{2^{2 - 3\sqrt 5 }}{.8^{\sqrt 5 }};{3^{1 + 2\sqrt[3]{2}}}:{9^{\sqrt[3]{2}}}\)

Đơn giản biểu thức 

\(\frac{{{{\left( {{a^{\sqrt 3  - 1}}} \right)}^{\sqrt 3  + 1}}}}{{{a^{\sqrt 5  - 3}}.{a^{4 - \sqrt 5 }}}}\); \({a^{\sqrt 2 }}.{\left( {\frac{1}{a}} \right)^{\sqrt 2  - 1}}\)

Một người gửi 15 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn 1 năm với lãi suất 7.56% một năm. Giả sử lãi suất không thay đổi, hỏi số tiền người đó thu được (cả vốn lẫn lãi) sau 5 năm là bao nhiêu triệu đồng? (Làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa của một số với số mũ hữi tỉ:

a) \(\sqrt[4]{{{x^2}\sqrt[3]{x}}},\left( {x > 0} \right)\)

b) \(\sqrt[5]{{\frac{b}{a}\sqrt[3]{{\frac{a}{b}}},}}\left( {a > 0,b > 0} \right)\)

c) \(\sqrt[3]{{\frac{2}{3}\sqrt[3]{{\frac{2}{3}}}.\sqrt {\frac{2}{3}} }}\)

d) \(\sqrt {a\sqrt {a\sqrt {a\sqrt a } } } :{a^{\frac{{11}}{{16}}}},\left( {a > 0} \right)\)

Đơn giản biểu thức: 

a) \({a^{ - 2\sqrt 2 }}{\left( {\frac{1}{{{a^{ - \sqrt 2  - 1}}}}} \right)^{\sqrt 2  + 1}}\)

b) \({\left( {\frac{{{a^{\sqrt 3 }}}}{{{b^{\sqrt 3  - 1}}}}} \right)^{\sqrt 3  + 1}}\frac{{{a^{ - 1 - \sqrt 3 }}}}{{{b^{ - 2}}}}\)

c) \(\frac{{{a^{2\sqrt 2 }} - {b^{2\sqrt 3 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}} \right)}^2}}} + 1\)

d) \(\sqrt {{{({x^\pi } + {y^\pi })}^2} - {{({4^{\frac{1}{\pi }}}xy)}^\pi }} \)

Tìm số thực \(\alpha \), thỏa mãn từng điều kiện sau:

a) \(\frac{1}{2}({a^\alpha } + {a^{ - \alpha }}) = 1(a > 0)\)

b) \({3^{|\alpha |}} < 27\)

Giải các phương trình sau bằng cách đặt \(t = \sqrt[4]{x}\)

a) \(\sqrt x  + \sqrt[4]{x} = 2\)

b) \(\sqrt x  - 3\sqrt[4]{x} + 2 = 0\)

Giải các bất phương trình sau:

a) \({x^4} < 3\)

b) \({x^{11}} \ge 7\)

c) \({x^10} > 2 \)

d) \({x^3} \le 5\)

Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

a) Cơ số của lôgarit là một số thực bất kì;

b) Cơ số của lôgarit phải là số nguyên;

c) Cơ số của lôgarit phải là số nguyên dương;

d) Cơ số của lôgarit phải là số dương khác 1;

Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?

a) Có lôgarit của một số thực bất kì;

b) Chỉ có lôgarit của một số thực dương;

c) Chỉ có lôgarit của một số thực dương khác 1;

d) Chỉ có lôgarit của một số thực lớn hơn 1;

Điền thêm vế còn lại của đẳng thức và bổ sung điều kiện để đẳng thức đúng.

a) \({\log _a}\left( {xy} \right) = ...;\)

b) \(... = lo{g_x}x - lo{g_a}y\)

c) \({\log _a}{x^\alpha } = ...\)

d) \({a^{lo{g_a}b}} = ...\)

Trong mỗi mệnh đề sau, hãy tìm điều kiện của a để có mệnh đề đúng:

a) \({\log _a}x < {\log _a}y \Leftrightarrow 0 < x < y\)

b)  \({\log _a}x < {\log _a}y \Leftrightarrow x > y > 0\)

Hãy tìm lôgarit của mỗi số sau theo cơ số 3:

\(3;81;1;\frac{1}{9};\sqrt[3]{3};\frac{1}{{3\sqrt 3 }}\)

Tính:

\({\log _{\frac{1}{5}}}125;{\log _{0,5}}\frac{1}{2};{\log _{\frac{1}{4}}}\frac{1}{{64}};{\log _{\frac{1}{6}}}36\)

Tính \({3^{{{\log }_3}18}};{3^{5{{\log }_3}2}};{\left( {\frac{1}{8}} \right)^{{{\log }_2}5}};{\left( {\frac{1}{{32}}} \right)^{{{\log }_{0,5}}2}}\)

Tìm x biết 

a) \({\log _5}x = 4\)

b) \(lo{g_2}(5 - x) = 3\)

c) \(lo{g_3}(x + 2) = 3\)

d) \(lo{g_{\frac{1}{{16}}}}(0,5 + x) =  - 1\)

Biểu thị các lôgarit sau đây theo lôgarit thập phân (rồi cho kết quả bằng máy tính, làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai): 

\({\log _7}25;{\log _5}8;{\log _9}0,75;{\log _{0,75}}1,13.\)

Hãy tính

a) \({\log _8}12{\rm{ }} - {\rm{ }}{\log _8}15{\rm{ }} + {\rm{ }}{\log _8}20\)

b) \(\frac{1}{2}{\log _7}36 - {\log _7}14 - 3{\log _7}\sqrt[3]{3}\)

c) \(\frac{{{{\log }_5}36 - {{\log }_5}12}}{{{{\log }_5}9}}\)

d) \({36^{{{\log }_6}5}} + {10^{1 - \log 2}} - {8^{{{\log }_2}3}}.\)

Hãy so sánh: 

a) \({\log _3}4\) và \({\log _4}\frac{1}{3}\)

b) \({3^{{{\log }_6}1,1}}\) và \(7^{{{\log }_6}0,99}\)

Không dùng bảng số và máy tính, hãy so sánh:

a) \(\log 2 + \log 3\) với \({\log _5}\)

b) \(\log 12 - \log 5\) với \({\log _7}\)

c) \(3\log 2 + \log 3\) với \(2{\log _5}\)

d) \(1 + 2\log 3\) với \({\log _27}\)

Trong mỗi trường hợp sau, hãy tính \({\log _a}x\) biết \({\log _a}b = 3,{\log _a}c =  - 2\)

a) \(x = {a^3}{b^2}\sqrt c \)

b) \(x = \frac{{{a^4}\sqrt[3]{b}}}{{{c^3}}}\)

Trong mỗi trường hợp sau, hãy tìm x:

a) \({\log _3}x = 4{\log _3}a + 7{\log _3}b\)

b) \({\log _5}x{\rm{ }} = {\rm{ }}2{\log _5}a{\rm{ }} - {\rm{ }}3{\log _5}b\)

Hãy biểu diễn các lôgarit sau qua α và β

a) \({\log _{\sqrt 3 }}50\) nếu \({\log _3}15 = \alpha ,{\log _3}10 = \beta \)

b) \({\log _4}1250 = \alpha \) nếu \({\log _2}5 = \alpha \)

Đơn giản các biểu thức: 

a) \(\log \frac{1}{8} + \frac{1}{2}\log 4 + 4\log \sqrt 2 \)

b) \(\log \frac{4}{9} + \frac{1}{2}\log 36 + \frac{3}{2}\log \frac{9}{2}\)

c) \(\log 72 - 2\log \frac{{27}}{{256}} + \log \sqrt {108} \)

d) \(\log \frac{1}{8} - \log 0,375 + 2\log \sqrt {0,5625} \)

Tìm x biết 

a) \({\log _x}27 = 3\)

b) \({\log _x}\frac{1}{7} =  - 1\)

c) \({\log _x}\sqrt 5  =  - 4\)

Số nguyên tố dạng M_p = 2^p−1, trong đó p là một số nguyên tố được gọi là số nguyên tố Mec-sen (M.Mersenne, 1588-1648, người Pháp).

Ơ-le phát hiện M₃₁ năm 1750.

Luy-ca (Lucas Edouard, 1842-1891, người Pháp). Phát hiện M₁₂₇ năm 1876.

M_1398269 được phát hiện năm 1996.

Hỏi rằng nếu viết ba số đó trong hệ thập phân thì mỗi số có bao nhiêu chữ số?

(Dễ thấy rằng chữ số của 2^p−1$\mathrm{}$ bằng chữ số của 2^p và để tính chữ số của M₁₂₇ có thể lấy log2 ≈ 0,30 và để tính chữ số của M_1398269 có thể lấy log2 ≈ 0,30103 (xem ví dụ 8)

Một người gửi 15 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn một quý với lãi suất 1,65% một quý. Hỏi sau bao lâu người đó có được ít nhất 20 triệu đồng (cả vốn lẫn lãi) từ số vốn ban đầu? (Giả sử lãi suất không thay đổi)

Tìm sai lầm trong lập luận sau:

Ta có: \(\ln {e^2} = 2\ln e = 2.1 = 2\)

Và \(\ln \left( {2e} \right) = \ln e +\ln e = 1 + 1 = 2\)

Từ đó suy ra \({e^2} = 2e\), mà e ≠ 0 nên e = 2!

\(\begin{array}{l}
\ln 500;\ln \frac{{16}}{{25}};\ln 6,25;\\
\ln \frac{1}{2} + \ln \frac{2}{3} + ... + \ln \frac{{98}}{{99}} + \ln \frac{{99}}{{100}}
\end{array}\)

Chứng minh:

\(\frac{7}{{16}}\ln (3 + 2\sqrt 2 ) - 4\ln (\sqrt 2  + 1) - \frac{{25}}{8}\ln (\sqrt 2  - 1) = 0\)

Sự tăng trưởng của một loại vi khuẩn tuân theo công thức S = A.e^rt, trong đó A là số lượng vi khuẩn ban đầu, r là ti lệ tăng trưởng (r > 0), t là thời gian tăng trưởng. Biết rằng số lượng vi khuẩn ban đầu là 100 con và sau 5 giờ có 300 con. Hỏi sau 10 giờ có bao nhiêu con vi khuẩn? Sau bao lâu số lượng vi khuẩn ban đầu sẽ tăng gấp đôi?

Cho biết chu kì bán hủy của chất phóng xạ Plutôni Pu²³⁹ là 24360 năm (tức là một lượng Pu²³⁹ sau 24360 năm phân hủy chỉ còn lại một nửa). Sự phân hủy được tính theo công thức S=A.e^rt, trong đó A là lượng chất phóng xạ ban đầu, r là tỉ lệ phân hủy hàng năm (r < 0), t là thời gian phân hủy, S là lượng còn lại sau thời gian phân hủy t. Hỏi 10 gam Pu²³⁹ sau bao nhiêu năm phân hủy sẽ còn 1 gam?

Trên hình bên cho hai đường cong (C₁) (đường nét liền) và (C₂) (đường nét đứt) được vẽ trên cùng một mặt phẳng tọa độ. Biết rằng mỗi đường cong ấy là đồ thị của ột trong hai hàm số lũy thừa y = x - 2 và \(y = {x^{ - \frac{1}{2}}}\) (x > 0). Chỉ dựa vào tính chất của lũy thừa, có thể nhận biết đường cong nào là đồ thị của hàm số nào được không?
Hãy nêu rõ lập luận.

Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = {\left( {2x + 1} \right)^\pi }\)

b) \(y = 5\sqrt[3]{{{{\ln }^3}5x}}\)

c) \(y = \sqrt[3]{{\frac{{1 + {x^3}}}{{1 - {x^3}}}}}\)

d) \(y = {\left( {\frac{x}{b}} \right)^a}{\left( {\frac{a}{x}} \right)^b}\) với a > 0, b > 0

Tính giá trị gần đúng đạo hàm của mỗi hàm số sau tại điểm đã cho (chính xác đến hàng phần trăm):

a) \(y = {\log _3}\left( {\sin x} \right)\) tại \(x = \frac{\pi }{4}\)

b) \(y = \frac{{{2^x}}}{{{x^2}}}\) tạo x = 1

a) Chứng minh rằng đồ thị của hai hàm số \(y = {a^x};y = {\left( {\frac{1}{a}} \right)^x}\) đối xứng với nhau qua trục tung.
b) Chứng minh rằng đồ thị của hai hàm số \(y = {\log _a}x;y = {\log _{\frac{1}{a}}}x\) đối xứng với nhau qua trục hoành.

a) Vẽ đồ thị hàm số \(y = {\log _{0,5}}x > 0\)

b) \( - 3 \le {\log _{0,5}}x \le  - 1\)

Vẽ đồ thị của hàm số \(y = {\left( {\sqrt 3 } \right)^x}\). Dựa vào đồ thị, hãy giải thích các bất phương trình sau:

a) \({\left( {\sqrt 3 } \right)^x} \le 1\)

b) \({\left( {\sqrt 3 } \right)^x} > 3\)

Khoảng 200 năm trước, hai nhà khoa học Pháp là Clô-zi-ut (Clausius) và Cla-pay-rông (Clapeyron) đã thấy rằng áp lực P của hơi nước (tính bằng milimét thủy ngân, viết tắt là mmHg) gây ra khi nó chiếm khoảng trống phía trên của mặt nước chứa trong một bình kín được tính theo công thức: \(P = a{.10^{\frac{k}{{t + 273}}}}\) , trong đó t là nhiệt độ C của nước, a và k là những hằng số. Cho biết k ≈ −2258,624
a) Tính a biết rằng khi nhiệt độ của nước là 100⁰C thì áp lực của hơi nước là 760 mmHg (tính chính xác đến hàng phần chục).
b) Tính áp lực của hơi nước khi nhiệt độ của nước là 40⁰C (tính chính xác đến hàng phần chục).

Tìm các giới hạn sau:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{_{x \to 0}} \frac{{{e^2} - {e^{3x}} + 2}}{x}\)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{_{x \to 0}} \frac{{{e^{2x}} - {e^{5x}}}}{x}\)

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

\(\begin{array}{l}
a)y = \left( {x - 1} \right){e^{2x}}\\
b)y = {x^2}.\sqrt {{e^{4x}} + 1} \\
c)y = \frac{1}{2}\left( {{e^x} - {e^{ - x}}} \right)\\
d)y = \frac{1}{2}({e^x} + {e^{ - x}})
\end{array}\)

Trong các hàm số sau đây, hàm số nào đồng biến, hàm số nào nghịch biến trên R?

a)  \(y = {\left( {\frac{\pi }{3}} \right)^x}\)

b) \(y = {\left( {\frac{3}{{\sqrt 2  + \sqrt 3 }}} \right)^x}\)

Trong các hàm số sau đây, hàm số nào đồng biến, hàm số nào nghịch biến trên R?

a) \(y = {\left( {\frac{\pi }{3}} \right)^x}\)

b) \(y = {\left( {\frac{3}{{\sqrt 2  + \sqrt 3 }}} \right)^x}\)

Vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) \(y = {\left( {\sqrt 2 } \right)^x}\)

b) \(y = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^x}\)

Sử dụng công thức \(L\left( {dB} \right) = 10\log \frac{I}{{{I_0}}}\) (xem bài đọc thêm “Lôgarit trong một số công thức đo lường “ tr.99), hãy tính gần đúng, chính xác đến hàng đơn vị, độ lớn dB của âm thanh có tỉ số \(\frac{I}{{{I_0}}}\) cho bảng sau rồi điền vào cột còn trống:

Tìm các giới hạn sau:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{_{x \to 0}} \frac{{\ln (1 + 3x)}}{x}\)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{_{x \to 0}} \frac{{\ln (1 + {x^2})}}{x}\)

Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

\(\begin{array}{l}
a)y = \left( {3x - 2} \right){\ln ^2}x\\
b)y = \sqrt {{x^2} + 1} \ln {x^2}\\
c)y = x.\ln \frac{1}{{1 + x}}\\
d)y = \frac{{\ln \left( {{x^2} + 1} \right)}}{x}
\end{array}\)

Trong các hàm số sau đây, hàm số nào đồng biến, hàm số nào nghịch biến trên khoảng xác định của nó?

a)  \(y = {\log _{\frac{2}{e}}}x\)

b) \(y = {\log _a}x\) với \(a = \frac{1}{{3\left( {\sqrt 3  - \sqrt 2 } \right)}}\)

Vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) \(y = {\log _{\sqrt 2 }}x\)

b) \(y = {\log _{\frac{2}{3}}}x\)

Giải các phương trình sau:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{a){{(2 + \sqrt 3 )}^{2x}} = 2 - \sqrt 3 }\\
{b){2^{{x^2} - 3x + 2}} = 4}\\
{c){{2.3}^{x + 1}} - {{6.3}^{x - 1}} - {3^x} = 9}\\
{d){{\log }_3}({3^x} + 8) = 2 + x.}
\end{array}\)

Giải các phương trình sau: 

a) \({\log _2}\left[ {x\left( {x - 1} \right)} \right] = 1\)

b) \({\log _2}x + {\log _2}\left( {x - 1} \right) = 1\)

Trên mặt mỗi chiếc radio đều có các vạch chia để người sử dụng dẽ dàng chọn đúng sóng 
Radio cần tìm. Biết rằng vạch chia ở vị trí cách vạch tận cùng bên trái một khoảng d (cm) thì ứng tần số F = ka^d  (kHz), trong đó k và a là hai hằng số được chọn sao cho vạch tận cùng trên trái ứng với tần số 53 kHz, vạch tận cùng bên phải ứng với tần số 160 kHz, và hai vạch này cách nhau 12 cm.

a) Hãy tính k và a (tính a chính xác đến hàng phần nghìn).
b) Giả sử đã cho F, hãy giải phương trình F = ka^d với ẩn d.
c) Áp dụng kết quả của b), hãy điền vào ô trống trong bảng sau (kết quả tính chính xác đến hàng phần trăm).

Giải các phương trình sau:

a) \({2^{x + 1}}{.5^x} = 200\)

b) \(0,{125.4^{2x - 3}} = {(4\sqrt 2 )^x}\)

Giải các phương trình sau:

a) \({\log _2}x + {\log _4}x = {\log _{\frac{1}{2}}}\sqrt 3 \)

b) \({\log _{\sqrt 3 }}x.{\log _3}x.{\log _9}x = 8\)

Giải các phương trình sau:

a) \({3^{x + 1}} + {18.3^{ - x}} = 29\)

b) \({27^x} + {12^x} = {2.8^x}\)

(Hướng dẫn: Chia cả hai vế cho 2^3x rồi đặt \(t = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^x}\))

Giải các phương trình sau:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{a){{\log }^2}{x^3} - 20\log \sqrt x  + 1 = 0}\\
{b)\frac{{{{\log }_2}x}}{{{{\log }_4}2x}} = \frac{{{{\log }_8}4x}}{{{{\log }_{16}}8x}}}\\
{c){{\log }_{9x}}27 - {{\log }_{3x}}243 = 0}
\end{array}\)

Giải các phương trình sau:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{a){3^{4x}} = {4^{3x}}}\\
{b){3^{2 - {{\log }_3}x}} = 81x}\\
{c){3^x}{{.8}^{\frac{x}{{x + 1}}}} = 36}\\
{d){x^6}{{.5}^{ - {{\log }_x}5}} = {5^{ - 5}}}
\end{array}\)

Giải các phương trình sau:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{a){3^{4x}} = {4^{3x}}}\\
{b){3^{2 - {{\log }_3}x}} = 81x}\\
{c){3^x}{{.8}^{\frac{x}{{x + 1}}}} = 36}\\
{d){x^6}{{.5}^{ - {{\log }_x}5}} = {5^{ - 5}}}
\end{array}\)

Giải các phương trình sau:

a) 2^x = 3 - x

b) log₂x = 3 - x

Giải các hệ phương trình

a) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x + y = 20}\\
{{{\log }_4}x + {{\log }_4}y = 1 + {{\log }_4}9}
\end{array}} \right.\) 

b) \(\left\{ \begin{array}{l}
x + y = 1\\
{4^{ - 2x}} + {4^{ - 2y}} = 0,5
\end{array} \right.\)

Giải hệ phương trình:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{a)\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{3^{ - x}}{{.2}^y} = 1152}\\
{{{\log }_{\sqrt 5 }}(x + y) = 2}
\end{array}} \right.}\\
{b)\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} - {y^2} = 2}\\
{{{\log }_2}(x + y) - {{\log }_3}(x - y) = 1}
\end{array}} \right.}
\end{array}\)

Giải các phương trình

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{a){{\log }_2}(3 - x) + {{\log }_2}(1 - x) = 3}\\
{b){{\log }_2}(9 - {2^x}) = {{10}^{\log (3 - x)}}}\\
{c){7^{\log x}} - {5^{\log x + 1}} = {{3.5}^{\log x - 1}} - {{13.7}^{\log x - 1}}}\\
{d){6^x} + {6^{x + 1}} = {2^x} + {2^{x + 1}} + {2^{x + 2}}}
\end{array}\)

Giải các phương trình

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{a){{\log }_3}\left( {{3^x} - 1} \right).{{\log }_3}\left( {{3^{x + 1}} - 3} \right) = 12}\\
{b){{\log }_{x - 1}}4 = 1 + {{\log }_2}(x - 1)}\\
{c)5\sqrt {{{\log }_2}\left( { - x} \right)}  = {{\log }_2}\sqrt {{x^2}} }\\
{d){3^{{{\log }_4} + \frac{1}{2}}} + {3^{{{\log }_4} - \frac{1}{2}}} = \sqrt x }
\end{array}\)

Giải phương trình:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{a){4^{\frac{{ - 1}}{x}}} + {6^{\frac{{ - 1}}{x}}} = {9^{\frac{{ - 1}}{x}}}}\\
{b){4^{\ln x + 1}} - 6{{\ln }^x} - {{2.3}^{\ln {x^2} + 2}} = 0}\\
{c)3\sqrt {{{\log }_2}x}  - {{\log }_2}8x + 1 = 0}\\
{d)\log _{\frac{1}{2}}^2(4x) + {{\log }_2}\frac{{{x^2}}}{8} = 8}
\end{array}\)

Giải phương trình:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{a){2^{{{\sin }^2}x}} + {{4.2}^{{{\cos }^2}x}} = 6}\\
{b){4^{3 + 2\cos 2x}} - {{7.4}^{1 + \cos 2x}} = {4^{\frac{1}{2}}}}
\end{array}\)

Giải phương trình:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{a){{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^x} = x + 4}\\
{b){{\left( {\sin \frac{\pi }{5}} \right)}^x} + {{\left( {\cos \frac{\pi }{5}} \right)}^x} = 1}
\end{array}\)

Giải hệ phương trình:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{a)\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{{3.2}^x} + {{2.3}^y} = 2,75}\\
{{2^x} - {3^y} =  - 0,75}
\end{array}} \right.}\\
{b)\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{{\log }_5}x + {{\log }_5}7.{{\log }_7}y = 1 + {{\log }_5}2}\\
{3 + {{\log }_2}y = {{\log }_2}5(1 + 3{{\log }_5}x)}
\end{array}} \right.}
\end{array}\)

Giải các bất phương trình sau:

\(\begin{array}{l}
a){2^{3 - 6x}} > 1\\
b){16^x} > 0,125
\end{array}\)

Giải các bất phương trình sau:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{a){{\log }_5}(3x - 1) < 1}\\
{b){{\log }_{\frac{1}{3}}}(5x - 1) > 0}\\
{c){{\log }_{0,5}}({x^2} - 5x + 6) \ge  - 1}\\
{d){{\log }_3}\frac{{1 - 2x}}{x} \le 0.}
\end{array}\)

Giải bất phương trình:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{a)\log _{0,5}^2x + {{\log }_{0,5}}x - 2 \le 0}\\
{b){2^x} + {2^{ - x + 1}} - 3 < 0}
\end{array}\)

Giải bất phương trình:

\(\begin{array}{l}
a){\log _{0,1}}\left( {{x^2} + x - 2} \right) > {\log _{0,1}}\left( {x + 3} \right)\\
b) {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {{x^2} - 6x + 5} \right) + 2{\log _3}\left( {2 - x} \right) \ge 0
\end{array}\)

So sánh p và q, biết:

\(\begin{array}{l}
a){\left( {\frac{2}{3}} \right)^p} > {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{ - q}}\\
b){\left( {\frac{8}{3}} \right)^{ - p}} < {\left( {\frac{3}{8}} \right)^q}\\
c)0,{25^p} < {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{2q}}\\
d){\left( {\frac{7}{2}} \right)^p} < {\left( {\frac{2}{7}} \right)^{p - 2q}}
\end{array}\)

Cho x < 0. Chứng minh rằng: 

\(\sqrt {\frac{{ - 1 + \sqrt {1 + \frac{1}{4}{{({2^x} - {2^{ - x}})}^2}} }}{{1 + \sqrt {1 + \frac{1}{4}{{({2^x} - {2^{ - x}})}^2}} }}}  = \frac{{1 - {2^x}}}{{1 + {2^x}}}\)

Tính 

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{a)A = {9^{2{{\log }_3}4 + 4{{\log }_{81}}2}}}\\
{b)B = {{\log }_a}\left( {\frac{{{a^2}\sqrt[3]{a}.\sqrt[5]{{{a^4}}}}}{{\sqrt[4]{a}}}} \right)}\\
{c)C = {{\log }_5}{{\log }_5}\sqrt[5]{{\sqrt[5]{{\sqrt[5]{{....\sqrt[5]{5}}}}}}}}
\end{array}\)

Chứng minh rằng \({\log _2}3 > {\log _3}4\)

Gọi c là cạnh huyền, a và b là hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông. Chứng minh rằng: 

\({\log _{b + c}}a + {\log _{c - b}}a = 2{\log _{b + c}}a.{\log _{c - b}}a.\)

Chứng minh rằng hàm số \(y = \ln \frac{1}{{1 + x}}\) thỏa hệ thức \(xy\prime  + 1 = {e^y}\)

Giả sử đồ thị (G) của hàm số \(y = \frac{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^x}}}{{\ln 2}}\) cắt trục tung tại điểm A và tiếp tuyến của (G) tại A cắt trục hoành tại điểm B. Tính giá trị gần đúng của diện tích của tam giác OAB (chính xác đến hàng phần nghìn).

Kí hiệu M là một điểm thuộc đồ thị của hàm số y = log_ax. Trong hai khẳng định a > 1 và 0 < a < 1, khẳng định nào đúng trong mỗi trường hợp sau? Vì sao?

a) M có tọa độ (0,5; -7)

b) M có tọa độ (0,5; 7)

c) M có tọa độ (3; 5,2)                 

d) M có tọa độ (3; -5,2).

Các loài cây xanh trong quá trình quang hợp sẽ nhận được một lượng cacbon 14 (một đồng vị của cacbon). Khi một bộ phận của một cái cây nào đó bị chết thì hiện tượng quang hợp cũng ngưng và nó sẽ không nhận thêm cacbon 14 nữa. Lượng cacbon 14 của bộ phận đó sẽ phân hủy một cách chậm chạp, chuyển hóa thành nito 14. Biết rằng nếu gọi P(t) là số phần trăm cacbon 14 còn lại trong một bộ phận của một cái cây sinh trưởng từ t năm trước đây thì P(t) được tính theo công thức: \(P(t) = 100.{(0,5)^{\frac{1}{{5750}}}}(\% )\)

Phân tích một mẫu gỗ từ một công trình kiến trúc cổ, người ta thấy lượng cacbon 14 còn lại trong mẫu gỗ đó là 65%. Hãy xác định niên đại của công trình kiến trúc đó.

Giải phương trình:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{a){{32}^{\frac{{x + 5}}{{x - 7}}}} = 0,{{25.128}^{\frac{{x + 17}}{{x - 3}}}}}\\
{b){5^{x - 1}} = {{10}^x}{{.2}^{ - x}}{{.5}^{x + 1}}}\\
{c){4^x} - {3^{x - 0,5}} = {3^{x + 0,5}} - {2^{2x - 1}}}\\
{d){3^{4x + 8}} - {{4.3}^{2x + 5}} + 28 = 2{{\log }_2}\sqrt 2 .}
\end{array}\)

Giải các phương trình:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{a){{\log }_3}(\log _{0,5}^2x - 3{{\log }_{0,5}}x + 5) = 2}\\
{b){{\log }_2}({{4.3}^x} - 6) - {{\log }_2}({9^x} - 6) = 1}\\
{c)1 - \frac{1}{2}\log (2x - 1) = \frac{1}{2}\log (x - 9)}\\
{d)\frac{1}{6}{{\log }_2}(x - 2) - \frac{1}{3} = {{\log }_{\frac{1}{8}}}\sqrt {3x - 5} }
\end{array}\)

Giải phương trình: \({4^x} - {3^x} = 1\)

Giải các hệ phương trình:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{a)\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{{\log }_2}(x - y) = 5 - {{\log }_2}(x + y)}\\
{\frac{{\log x - \log 4}}{{\log y - \log 3}} =  - 1}
\end{array}} \right.}\\
{b)\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2{{\log }_2}x - {3^y} = 15}\\
{{3^y}.{{\log }_2}x = 2{{\log }_2}x + {3^{y + 1}}}
\end{array}} \right.}
\end{array}\)

Giải các bất phương trình sau: 

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{a)\frac{{1 - {{\log }_4}x}}{{1 + {{\log }_2}x}} < \frac{1}{2}}\\
{b){{\log }_{\frac{1}{{\sqrt 5 }}}}({6^{x + 1}} - {{36}^x}) \ge  - 2}\\
{c){{\log }_{\frac{1}{5}}}({x^2} - 6x + 18) + 2{{\log }_5}(x - 4) < 0}
\end{array}\)

Giá trị biểu thức \({\log _2}36 - {\log _2}144\) bằng

(A) – 4

(B) 4

(C) – 2

(D) 2.

Biết \({\log _6}\sqrt a  = 2\) thì \({\log _6}a\) bằng:

(A) 36

(B) 108

(C) 6

(D) 4.

Tập các số x thỏa mãn \({\log _{0,4}}\left( {x - 4} \right) + 1 \ge 0\) là:

(A) \(\left( {4; + \infty } \right)\)

(B) (4;6,5)

(C) \(\left( { - \infty ;6,5} \right)\)

(D) \(\left[ {6,5; + \infty } \right)\)

Tập các số x thỏa mãn \({\left( {\frac{2}{3}} \right)^{4x}} \le {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{2 - x}}\) là:

(A) \(\left( { - \infty ;\frac{2}{3}} \right]\)

(B) \(\left[ { - \frac{2}{3}; + \infty } \right)\)

(C) \(\left( { - \infty ;\frac{2}{5}} \right]\)

(D) \(\left[ {\frac{2}{5}; + \infty } \right)\)

Giá trị biểu thức \(3{\log _{0,1}}{10^{2,4}}\) bằng:

(A) 0,8

(B) 7,2

(C) – 7,2

(D) 72

Giá trị biểu thức \(0,5{\log _2}25 + {\log _2}\left( {1,6} \right)\) bằng:

(A) 1

(B) 2

(C) 3

(D) 5.

Giá trị biểu thức \(\frac{{{{\log }_2}240}}{{{{\log }_{3,75}}2}} - \frac{{{{\log }_2}15}}{{{{\log }_{60}}2}} + {\log _2}1\) bằng:

Tập các số x thỏa mãn \({\left( {\frac{3}{5}} \right)^{2x - 1}} \le {\left( {\frac{3}{5}} \right)^{2 - x}}\) là:

(A) \(\left[ {3; + \infty } \right)\)

(B) \(\left( { - \infty ;1} \right]\)

(C) \(\left[ {1; + \infty } \right)\)

(D) \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\)

Đối với hàm số \(f\left( x \right) = {e^{\cos 2x}}\), ta có:

(A) \({f'\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = {e^{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}}}\)

(B) \({f'\left( {\frac{\pi }{6}} \right) - {e^{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}}}\)

(C) \({f'\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \sqrt {3e} }\)

(D) \({f'\left( {\frac{\pi }{6}} \right) =  - \sqrt {3e} }\)

Đối với hàm số \(y = \ln \frac{1}{{x + 1}}\), ta có:

(A) \({xy' + 1 = {e^y}}\)

(B) \({xy' + 1 =  - {e^y}}\)

(C) \({xy' - 1 = {e^y}}\)

(D) \({xy' - 1 =  - {e^y}}\)

Trên hình bên, đồ thị của ba hàm số: \(y = {a^x};y = {b^x};y = {c^x}\)

(a, b và c là ba số dương khác 1 cho trước) được vẽ trong cùng một mặt phẳng tọa độ. Dựa vào đồ thị và các tính chất của lũy thừa, hãy so sánh ba số a, b và c.

(A) a > b > c

(B) a > c > b

(C) b > a > c

(D) b  > c  > a$\begin{array}{r}\end{array}$

Trên hình bên, đồ thị của ba hàm số: 

\(y = {\log _a}x,{\log _b}x,{\log _c}x\) 

(a,b và c là ba số dương khác 1 cho trước) được vẽ trong cũng một mặt phẳng tọa độ. Dựa vào đồ thị và các tính chất của logarit, hãy so sánh ba số a, b, c :

Phương trình \({\log _2}4x - {\log _{\frac{x}{2}}}2 = 3\) có bao nhiêu nghiệm?

(A) 1 nghiệm

(B) 2 nghiệm

(C) 3 nghiệm 

(D) 4 nghiệm.