Bài tập 10 trang 78 SGK Toán 12 NC

Bài tập 10 trang 78 SGK Toán 12 NC

a) Ta có: 

\(4 \pm 2\sqrt 3  = {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} \pm 2\sqrt 3  + 1 = {\left( {\sqrt 3  \pm 1} \right)^2}\)

Nên

\(\begin{array}{l}
\sqrt {4 + 2\sqrt 3 }  - \sqrt {4 - 2\sqrt 3 } \\
 = \left( {\sqrt 3  + 1} \right) - \left( {\sqrt 3  - 1} \right) = 2
\end{array}\)

b) Đặt \(x = \sqrt[3]{{9 + \sqrt {80} }} + \sqrt[3]{{9 - \sqrt {80} }}\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^3} = {{\left( {\sqrt[3]{{9 + \sqrt {80} }} + \sqrt[3]{{9 - \sqrt {80} }}} \right)}^3}}\\
\begin{array}{l}
 = 9 + \sqrt {80}  + 9 - \sqrt {80} \\
 + \sqrt[3]{{9 + \sqrt {80} }}.\sqrt[3]{{9 - \sqrt {80} }}x
\end{array}\\
{ = 18 + 3\sqrt[3]{{81 - 80}}.x = 18 + 3x}
\end{array}\)

Do đó \({x^3} - 3x - 18 = 0\left( * \right)\)

Mà \({x^3} - 3x - 18 = \left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} + 3x + 6} \right)\) nên từ phương trình đã cho suy ra x = 3 (vì \({x^2} + 3x + 6 > 0,\forall x\))

Vậy \(\sqrt[3]{{9 + \sqrt {80} }} + \sqrt[3]{{9 - \sqrt {80} }} = 3\)

-- Mod Toán 12