Hãy so sánh các kết quả sau đây:
a) \(\sqrt {2000} + \sqrt {2005} \) và \(\sqrt {2002} + \sqrt {2003} \)
(không dùng bảng số hoặc máy tính)
b) \(\sqrt {a + 2} + \sqrt {a + 4} \) và \(\sqrt a + \sqrt {a + 6} \,\left( {a \ge 0} \right)\)
a) Giả sử ta có
\(\sqrt {2000} + \sqrt {2005} < \sqrt {2000} + \sqrt {2003} \,\,\left( 1 \right)\)
Khi đó:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
\left( 1 \right) \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {2000} + \sqrt {2005} } \right)^2}\\
< {\left( {\sqrt {2000} + \sqrt {2003} } \right)^2}
\end{array}\\
\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 4005 + 2\sqrt {2000.2005} \\
< 4005 + 2\sqrt {2002.2003}
\end{array}\\
{ \Leftrightarrow 2000.2005 < 2002.2003}\\
{ \Leftrightarrow 2000.2005 < \left( {2000 + 2} \right)\left( {2005 - 2} \right)}\\
{ \Leftrightarrow 2000.2005 < 2000.2005 + 6\left( {ld} \right)}
\end{array}\)
Vậy \(\sqrt {2000} + \sqrt {2005} < \sqrt {2000} + \sqrt {2003} \)
b) Giả sử ta có
\(\begin{array}{l}
\sqrt {a + 2} + \sqrt {a + 4} \le \sqrt a + \sqrt {a + 6} \\
\left( {a \ge 0} \right){\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( 2 \right)
\end{array}\)
Ta có:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
\left( 2 \right) \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {a + 2} + \sqrt {a + 4} } \right)^2}\\
\le {\left( {\sqrt a + \sqrt {a + 6} } \right)^2}
\end{array}\\
\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 2a + 6 + 2\sqrt {\left( {a + 2} \right)\left( {a + 6} \right)} \\
\le 2a + 6 + 2\sqrt {a\left( {a + 6} \right)}
\end{array}\\
{ \Leftrightarrow \left( {a + 2} \right)\left( {a + 4} \right) \le a\left( {a + 6} \right)}\\
{ \Leftrightarrow {a^2} + 6a + 8 \le {a^2} + 6a \Leftrightarrow 8 \le 0}
\end{array}\)
Vì \(8 \le 0\) là vô lý nên
\(\sqrt {a + 2} + \sqrt {a + 4} > \sqrt a + \sqrt {a + 6} \)
-- Mod Toán 10
Copyright © 2021 HOCTAP247