Bài tập 52 trang 141 SGK Toán 10 NC

Lý thuyết Bài tập
Câu hỏi:

Bài tập 52 trang 141 SGK Toán 10 NC

Chứng minh định lý về dấu của tam thức bậc 2.

Hướng dẫn: Với các trường hợp Δ < 0 và Δ = 0, sử dụng hệ thức đã biết:

\(f\left( x \right) = a\left[ {{{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)}^2} - \frac{\Delta }{{4{a^2}}}} \right]\)

Hay \(af\left( x \right) = {a^2}\left[ {{{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)}^2} - \frac{\Delta }{{4{a^2}}}} \right]\)

Trong trường hợp Δ > 0, sử dụng hệ thức đã biết:

f(x) = a(x – x1)(x – x2) hay af(x) = a2(x – x1)(x – x2)

trong đó x1 và x2 là hai nghiệm của tam thức bậc hai f(x)

Ta có: \(af\left( x \right) = {a^2}\left[ {{{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)}^2} - \frac{\Delta }{{4{a^2}}}} \right]\)

+ Nếu Δ < 0 thì af(x) > 0 với mọi x ∈ R, tức f(x) cùng dấu với a với mọi x ∈ R

+ Nếu Δ = 0 thì \(af\left( x \right) = {a^2}{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2}\) khi đó af(x) > 0 với mọi \(x \ne  - \frac{b}{{2a}}\)

+ Nếu Δ > 0 thì f(x) có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 và f(x) = a(x – x1)(x – x2)

Do đó: af(x) = a2(x – x1)(x – x2)

Vậy af(x) có cùng dấu với tích (x – x1)(x – x2).

Dấu của tích này được cho trong bảng sau (x1 < x2)

 

Do đó: af(x) < 0 với mọi x ∈ (x1, x2)

Và af(x) > 0 với mọi x < x1 hoặc x > x2

 

-- Mod Toán 10

Copyright © 2021 HOCTAP247