Bài tập 86 trang 156 SGK Toán 10 NC

Bài tập 86 trang 156 SGK Toán 10 NC

a) Bất phương trình đầu của hệ có nghiệm là 2 < x < 3

Bất phương trình thứ hai của hệ tương đương với bất phương trình ax < - 4

• Nếu a = 0 thì bất phương trình này vô nghiệm. Do đó, hệ vô nghiệm.
• Nếu a > 0 thì nghiệm của phương trình là \(x <  - \frac{4}{a}\)

Vì \( - \frac{4}{a} < 0\) nên hệ vô nghiệm.

• Nếu a < 0 thì nghiệm của bất phương trình này là \(x >  - \frac{4}{a}\)

Hệ có nghiệm khi và chỉ khi: 

\(\left\{ \begin{array}{l}
a < 0\\
 - \frac{4}{3} < 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow a <  - \frac{4}{3}\)

Vậy hệ có nghiệm khi và chỉ khi \(a <  - \frac{4}{3}\)

b) Bất phương trình đầu của hệ có nghiệm là x > 1

Xét bất phương trình thứ hai của hệ:

Ta có Δ’ = a² – 1

Nếu Δ’ = 0 ⇔ a = ± 1

• Với a = 1, nghiệm của bất phương trình là x = 1

Do đó, hệ vô nghiệm.

• Với a = - 1, nghiệm của bất phương trình là x = -1

Nếu Δ’ < 0 hay -1 < a < 1 thì bất phương trình này vô nghiêm.

Do đó, hệ vô nghiệm.

Nếu Δ’ > 0 hay a < -1 hoặc a > 1 thì tam thức ở vế trái của bất phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂.

Nghiệm của bất phương trình này là x₁ ≤ 1 ≤ x₂  (giả sử x₁ < x₂)

Theo định lý Vi - ét, ta có x₁x₂ = 1 và x₁ + x₂ = 2a

• Nếu a < - 1 thì cả hai nghiệm x₁ và x₂ đều âm. Do đó, hệ đã cho vô nghiệm.
• Nếu a > 1 thì hai nghiệm x₁ và x₂ đều dương. Ngoài ra vì x₁x₂ = 1 và x₁ ≠ x₂ nên x₁ < 1 < x₂.

Do đó, hệ có nghiệm.

-- Mod Toán 10