Bài tập 85 trang 156 SGK Toán 10 NC

Bài tập 85 trang 156 SGK Toán 10 NC

a) Ta có:

\(\begin{array}{l}
\sqrt {{x^2} - 4x - 12}  \le  - 4\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - 4x - 12 \ge 0\\
x - 4 \le 0\\
{x^2} - 4x - 12 \le {\left( {x - 4} \right)^2}
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
x \le  - 2\\
x \ge 6
\end{array} \right.\\
x \ge 4\\
4x \le 28
\end{array} \right. \Leftrightarrow 6 \le x \le 7
\end{array}\)

Vậy S = [6,7]

b) Ta có:

\(\begin{array}{l}
\left( {x - 2} \right)\sqrt {{x^2} + 4}  \le {x^2} - 4\\
 \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 4}  - x - 2} \right) \le 0
\end{array}\)

•  Với x = 2 là nghiệm của bất phương trình
• Với x > 2, ta có:

\(\begin{array}{l}
\left( {x - 2} \right)\sqrt {{x^2} + 4}  \le {x^2} - 4\\
 \Leftrightarrow {x^2} + 4 \le {\left( {x + 2} \right)^2} \Leftrightarrow x \ge 0
\end{array}\)

Kết hợp với điều kiện, ta có: x > 2.

• Với x < 2, ta có:

\(\begin{array}{l}
\left( {x - 2} \right)\sqrt {{x^2} + 4}  \le {x^2} - 4\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x + 2 > 0\\
\left\{ \begin{array}{l}
x + 2 \ge 0\\
{x^2} + 4 \ge {\left( {x + 2} \right)^2}
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x <  - 2\\
\left\{ \begin{array}{l}
x \ge  - 2\\
x \le 0
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow x \le 0
\end{array}\)

Vậy \(S = \left( { - \infty ;0} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\)

c) Bất phương trình đã cho tương đương với:

\(\begin{array}{l}
\left( I \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} - 8x \ge 0}\\
{x + 1 < 0}
\end{array}} \right.\\
\left( {II} \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x + 1 \ge 0}\\
{{x^2} - 8x \ge 4{{\left( {x + 1} \right)}^2}}
\end{array}} \right.
\end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\left( I \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
x \le 0\\
x \ge 8
\end{array} \right.\\
x <  - 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow x <  - 1\\
\left( {II} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge  - 1\\
3{x^2} + 16x + 4 \le 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge  - 1\\
\frac{{ - 8 - 2\sqrt {13} }}{3} \le x \le \frac{{ - 8 + 2\sqrt {13} }}{3}
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow  - 1 \le x \le \frac{{ - 8 + 2\sqrt {13} }}{3}
\end{array}\)

Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là:

\(\begin{array}{l}
S = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left[ { - 1;\frac{{ - 8 + 2\sqrt {13} }}{3}} \right]\\
 = \left( { - \infty ;\frac{{ - 8 + 2\sqrt {13} }}{3}} \right]
\end{array}\)

d) Đặt \(t = \sqrt {x\left( {x + 3} \right)} \,\,\left( {t \ge 0} \right)\)

⇒ x² + 3x = t2 ⇔ t² + t - 6 ≤ 0

⇔  - 3 ≤ t ≤ 2

Kết hợp với điều kiện:

0 ≤ t ≤ 2  ⇔  0 ≤ x² + 3x ≤ 4

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + 3x \ge 0\\
{x^2} + 3x - 4 \le 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
x \le  - 3\\
x \ge 0
\end{array} \right.\\
 - 4 \le x \le 1
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 - 4 \le x \le  - 3\\
0 \le x \le 1
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy S = [−4,−3]∪[0,1]

-- Mod Toán 10