Bài tập 10 trang 110 SGK Toán 10 NC

Bài tập 10 trang 110 SGK Toán 10 NC

a) Với \(x \ge y \ge 0\), ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
\frac{x}{{1 + x}} \ge \frac{y}{{1 + y}}\\
 \Leftrightarrow x\left( {1 + y} \right) \ge y\left( {1 + x} \right)
\end{array}\\
\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow x + xy \ge y + xy\\
 \Leftrightarrow x \ge y
\end{array}
\end{array}\)

Điều này đúng với giả thiệt 

Vậy ta có điều phải chứng minh

b) Vì \(\left| {a - b} \right| \ge \left| a \right| + \left| b \right|\) nên theo câu a ta có:

\(\begin{array}{l}
\frac{{\left| {a - b} \right|}}{{1 + \left| {a - b} \right|}} \le \frac{{\left| a \right| + \left| b \right|}}{{1 + \left| a \right| + \left| b \right|}}\\
 = \frac{{\left| a \right|}}{{1 + \left| a \right| + \left| b \right|}} + \frac{{\left| b \right|}}{{1 + \left| a \right| + \left| b \right|}}\\
 \le \frac{{\left| a \right|}}{{1 + \left| a \right| + }} + \frac{{\left| b \right|}}{{1 + \left| b \right|}}
\end{array}\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 0.

-- Mod Toán 10