Bài tập 77 trang 155 SGK Toán 10 NC

Bài tập 77 trang 155 SGK Toán 10 NC

a) Ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{a + b + c \ge \sqrt {ab}  + \sqrt {bc}  + \sqrt {ca} }\\
\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow 2a + 2b + 2c - 2\sqrt {ab} \\
\,\,\,\,\, - 2\sqrt {bc}  - 2\sqrt {ca}  \ge 0
\end{array}\\
\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left( {a - 2\sqrt {ab}  + b} \right) + \left( {b - 2\sqrt {bc}  + c} \right)\\
\,\,\,\,\, + \left( {c - 2\sqrt {ca}  + a} \right) \ge 0
\end{array}\\
\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow {\left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)^2} + {\left( {\sqrt b  - \sqrt c } \right)^2}\\
\,\,\,\,\, + {\left( {\sqrt c  - \sqrt a } \right)^2} \ge 0
\end{array}
\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

b) Ta có:

a²b² + b²c² + c²a² ≥ abc(a + b +c)

⇔ 2a²b² + 2b²c² + 2c²a² ≥ 2abc(a + b +c)

⇔ (a²b² – 2a²bc+ a²c²) + (a²c² – 2c²ab +b²c²) + (a²b² – 2b²ac +b²c²) ≥ 0

⇔  (ab – ac)² + (ac – bc)² + (ab – bc)² ≥ 0 (luôn đúng)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c hoặc 2 trong 3 số a, b, c = 0.

-- Mod Toán 10