Bài tập 78 trang 155 SGK Toán 10 NC

Bài tập 78 trang 155 SGK Toán 10 NC

a) Vì với mọi x ≠ 0; x và \(\frac{1}{x}\) cùng dấu nên:

\(\begin{array}{l}
f\left( x \right) = \left| {x + \frac{1}{x}} \right|\\
 = \left| x \right| + \frac{1}{{\left| x \right|}} \ge 2\sqrt {\left| x \right|.\frac{1}{{\left| x \right|}}}  = 2
\end{array}\)

với mọi x ≠ 0

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

\(\left| x \right| = \frac{1}{{\left| x \right|}} \Leftrightarrow \left| x \right| = 1 \Leftrightarrow x =  \pm 1\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của f(x) là 2.

b) Với mọi x ∈ R, ta có:

\(\begin{array}{l}
g\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 2}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\\
 = \frac{{{x^2} + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} + \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\\
 = \sqrt {{x^2} + 1}  + \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\\
 \ge 2\sqrt {\sqrt {{x^2} + 1} .\frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}}  = 2
\end{array}\)

(theo bất đẳng thức Cô-si)

\(\begin{array}{l}
g\left( x \right) = 2 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 1}  = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\\
 \Leftrightarrow {x^2} + 1 = 1 \Leftrightarrow x = 0
\end{array}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của g(x) là 2.

-- Mod Toán 10