Bài tập 76 trang 155 SGK Toán 10 NC
Bài tập 76 trang 155 SGK Toán 10 NC
Chứng minh các bất đẳng thức
a) |a+b| < |1+ab| với |a| < 1; |b| < 1
b) \(\frac{1}{{n + 1}} + \frac{1}{{n + 2}} + ... + \frac{1}{{2n}} \ge \frac{1}{2}\) với mọi n ∈ N*
c) \(\frac{{a + b}}{{1 + a + b}} \le \frac{a}{{1 + a}} + \frac{b}{{1 + b}}\) với mọi a ≥ 0; b ≥ 0. Khi nào có đẳng thức?
a) Ta có:
|a+b| < |1+ab| ⇔ (a+b)2 < (1+ab)2
⇔ a2b2 – a2 – b2+1 > 0
⇔ a2(b2–1) – (b2–1) > 0
⇔ (a2–1)(b2–1) > 0 (luôn đúng vì a2 < 1 và b2 < 1)
Vậy với |a| < 1; |b| < 1 thì |a+b| < |1+ab|
b) Ta có:
\(\begin{array}{l}
\frac{1}{{n + 1}} \ge \frac{1}{{2n}}\\
;\frac{1}{{n + 2}} \ge \frac{1}{{2n}}\\
;...;\\
\frac{1}{{2n}} = \frac{1}{{2n}}
\end{array}\)
Do đó:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
\frac{1}{{n + 1}} + \frac{1}{{n + 2}} + ... + \frac{1}{{2n}}\\
\ge \underbrace {\frac{1}{{2n}} + \frac{1}{{2n}} + ... + \frac{1}{{2n}}}_n
\end{array}\\
\begin{array}{l}
\Rightarrow \frac{1}{{n + 1}} + \frac{1}{{n + 2}} + ... + \frac{1}{{2n}}\\
\ge n.\frac{1}{{2n}} = \frac{1}{2}
\end{array}
\end{array}\)
Vậy ta được điều phải chứng minh.
c) Vì a ≥ 0; b ≥ 0 nên:
\(\begin{array}{l}
\frac{{a + b}}{{1 + a + b}} = \frac{a}{{1 + a + b}} + \frac{b}{{1 + a + b}}\\
\le \frac{a}{{1 + a}} + \frac{b}{{1 + b}}
\end{array}\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = 0
-- Mod Toán 10
Copyright © 2021 HOCTAP247