Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số
\(f(x) = \frac{1}{{1 + \sin x}}?\)
a) \(F\left( x \right) = 1 - \cot \left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4}} \right)\)
b) \(G(x) = 2\tan \frac{x}{2}\)
c) \(H(x) = \ln (1 + \sin x)\)
d) \(K(x) = 2\left( {1 - \frac{1}{{1 + \tan \frac{x}{2}}}} \right)\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\int {\frac{1}{{1 + \sin x}}dx} = \int {\frac{1}{{{{\left( {\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2}} \right)}^2}}}dx} \\
= \int {\frac{1}{{2{{\sin }^2}\left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4}} \right)}}dx} = - \cot \left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4}} \right) + C
\end{array}\)
Vậy \(F\left( x \right) = 1 - \cot \left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4}} \right)\) là một nguyên hàm của hàm số f(x).
\(G'(x) = \frac{1}{{\tan \frac{x}{2}}} = \frac{{\cos \frac{x}{2}}}{{\sin \frac{x}{2}}} = \frac{{2{{\cos }^2}\frac{x}{2}}}{{\sin x}}\) nên G(x) không là nguyên hàm của hàm số f(x)
\(H'(x) = \frac{{(1 + \sin x)'}}{{1 + \sin x}} = \frac{{\cos x}}{{1 + \sin x}}\) nên H(x) không là nguyên hàm của hàm số f(x).
\(\begin{array}{l}
K'\left( x \right) = 2.\frac{{{{\left( {1 + \tan \frac{x}{2}} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {1 + \tan \frac{x}{2}} \right)}^2}}} = 2.\frac{{\frac{1}{{2{{\cos }^2}\frac{x}{2}}}}}{{{{\left( {\frac{{\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}}}{{\cos \frac{x}{2}}}} \right)}^2}}}\\
= \frac{1}{{{{\left( {\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}} \right)}^2}}} = \frac{1}{{1 + \sin x}}
\end{array}\)
Vậy K(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x).
-- Mod Toán 12
Copyright © 2021 HOCTAP247