Bài tập 3.54 trang 183 SBT Toán 12

Bài tập 3.54 trang 183 SBT Toán 12

Đáp án A:

Xét \(I = \int \limits_0^1 \ln \left( {1 + x} \right)dx - \int \limits_0^1 \frac{{x - 1}}{{e - 1}}dx\)

\( = \int \limits_0^1 \left( {\ln \left( {1 + x} \right) - \frac{{x - 1}}{{e - 1}}} \right)dx\)

Dễ thấy trong [0;1] thì:

\(\begin{array}{l}
\ln \left( {x + 1} \right) \ge 0 \ge \frac{{x - 1}}{{e - 1}}\\
 \Rightarrow \ln \left( {x + 1} \right) - \frac{{x - 1}}{{e - 1}} \ge 0\\
 \Rightarrow \int \limits_0^1 \left( {\ln \left( {1 + x} \right) - \frac{{x - 1}}{{e - 1}}} \right)dx > 0\\
 \Rightarrow \int \limits_0^1 \ln \left( {1 + x} \right)dx - \int \limits_0^1 \frac{{x - 1}}{{e - 1}}dx > 0\\
 \Leftrightarrow \int \limits_0^1 \ln \left( {1 + x} \right)dx > \int \limits_0^1 \frac{{x - 1}}{{e - 1}}dx
\end{array}\)

Hay A đúng.

Đáp án B:

Xét \(\int \limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\sin ^2}xdx - \int \limits_0^{\frac{\pi }{4}} \sin 2xdx\)

\(\begin{array}{l}
 = \int \limits_0^{\frac{\pi }{4}} \left( {{{\sin }^2}x - \sin 2x} \right)dx\\
 = \int \limits_0^{\frac{\pi }{4}} \sin x\left( {\sin x - 2\cos x} \right)dx
\end{array}\)

Trong đoạn \[\left[ {0;\frac{\pi }{4}} \right]\) thì 

\(\begin{array}{l}
0 \le \sin x \le \frac{{\sqrt 2 }}{2} \le \cos x \le 1\\
 \Rightarrow \sin x - 2\cos x < 0\\
 \Rightarrow \sin x\left( {\sin x - 2\cos x} \right) \le 0\\
 \Rightarrow \int \limits_0^{\frac{\pi }{4}} \sin x\left( {\sin x - 2\cos x} \right)dx < 0\\
 \Rightarrow \int \limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\sin ^2}xdx < \int \limits_0^{\frac{\pi }{4}} \sin 2xdx
\end{array}\)

Hay B đúng.

Đáp án D:

Xét \(\int \limits_0^1 {e^{ - {x^2}}}dx - \int \limits_0^1 {e^{ - {x^3}}}dx\)

\( = \int \limits_0^1 \left( {{e^{ - {x^2}}} - {e^{ - {x^3}}}} \right)dx\)

Trong đoạn [0;1] thì 

\(\begin{array}{l}
{x^2} \ge {x^3} \Rightarrow  - {x^2} \le  - {x^3}\\
 \Rightarrow {e^{ - {x^2}}} \le {e^{ - {x^3}}} \Rightarrow {e^{ - {x^2}}} - {e^{ - {x^3}}} \le 0\\
 \Rightarrow \int \limits_0^1 \left( {{e^{ - {x^2}}} - {e^{ - {x^3}}}} \right)dx < 0\\
 \Leftrightarrow \int \limits_0^1 {e^{ - {x^2}}}dx < \int \limits_0^1 {e^{ - {x^3}}}dx
\end{array}\)

Hay D sai.

Chọn D.

-- Mod Toán 12