Bài tập 3.48 trang 181 SBT Toán 12

Bài tập 3.48 trang 181 SBT Toán 12

a) Đúng vì trong tích phân \(\int \limits_0^1 {x^n}{(1 - x)^m}dx\), nếu đặt t = 1−x thì dx = −dt

\(\begin{array}{l}
 \Rightarrow \int \limits_0^1 {x^n}{(1 - x)^m}dx = \int \limits_1^0 {\left( {1 - t} \right)^n}.{t^m}.\left( { - dt} \right)\\
 = \int \limits_0^1 {t^m}.{\left( {1 - t} \right)^n}dt = \int \limits_0^1 {x^m}.{\left( {1 - x} \right)^n}dt
\end{array}\)

b) Ta có: 

\(\int \limits_{ - 1}^1 \frac{{{t^2}dt}}{{{e^t} + 1}} = \int \limits_{ - 1}^0 \frac{{{t^2}dt}}{{{e^t} + 1}} + \int \limits_0^1 \frac{{{t^2}dt}}{{{e^t} + 1}}\) (*)

Dùng phương pháp đổi biến t = −x đối với tích phân \(\int \limits_{ - 1}^0 \frac{{{t^2}dt}}{{{e^t} + 1}}\), ta được:

\(\begin{array}{l}
\int \limits_{ - 1}^0 \frac{{{t^2}dt}}{{{e^t} + 1}} = \int \limits_0^1 \frac{{{x^2}dx}}{{{e^{ - x}} + 1}}\\
 = \int \limits_0^1 \frac{{{t^2}dt}}{{{e^{ - t}} + 1}} = \int \limits_0^1 \frac{{{t^2}{e^t}}}{{1 + {e^t}}}dt
\end{array}\)

Thay vào (*) ta có: 

\(\begin{array}{l}
\int \limits_{ - 1}^1 \frac{{{t^2}dt}}{{{e^t} + 1}} = \int \limits_0^1 \frac{{{t^2}{e^t}}}{{1 + {e^t}}}dt + \int \limits_0^1 \frac{{{t^2}dt}}{{{e^t} + 1}}\\
 = \int \limits_0^1 \frac{{{t^2}{e^t} + {t^2}}}{{{e^t} + 1}}dt = \int \limits_0^1 \frac{{{t^2}\left( {{e^t} + 1} \right)}}{{{e^t} + 1}}dt\\
 = \int \limits_0^1 {t^2}dt
\end{array}\)

Vậy \(\int \limits_{ - 1}^1 \frac{{{t^2}dt}}{{{e^t} + 1}} = \int \limits_0^1 {t^2}dt\)

c) Sai.

Đặt \(\sin x = t \Rightarrow \cos xdx = dt\)

\( \Rightarrow \int \limits_0^1 {\sin ^3}s\cos xdx = \int \limits_0^{\frac{\pi }{2}} {t^3}dt \ne \int \limits_0^1 {t^3}dt\)

Vậy c sai.

-- Mod Toán 12