Bài tập 1 trang 126 SGK Giải tích 12

Lý thuyết Bài tập
Câu hỏi:

Bài tập 1 trang 126 SGK Giải tích 12

a) Phát biểu định nghĩa nguyên hàm của hàm số f(x) trên một khoảng.

b) Nêu phương pháp tính nguyên hàm từng phần. Cho ví dụ minh họa.

Câu a

Khái niệm nguyên hàm của hàm số f(x) trên một khoảng.

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng của \(\mathbb{R}.\)

  • Định nghĩa:

Cho hàm số \(f(x)\) xác định trên K.

Hàm số \(F(x)\) được gọi là nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên K nếu \(F'(x) = f(x)\) với mọi \(x \in K.\)

  • Định lý 1:

Nếu \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số \(G(x) = F(x)+C\) cũng là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên K.

  • Định lý 2:

Nếu \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên K thì mọi nguyên hàm của \(f(x)\) trên K đều có dạng \(F(x)+C\) với \(C\) là một hằng số tùy ý.

Kí hiệu họ nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) là \(\int f(x)dx.\)

Khi đó : \(\int f(x)dx=F(x)+C,C\in \mathbb{R}.\)

Câu b

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần

  • Định lí: 

Nếu hai hàm số \(u=u(x)\) và \(v=v(x)\) có đạo hàm và liên tục trên K thì:

\(\int {u(x)v'(x)dx} = u(x)v(x) - \int {u'(x)v(x)dx}\)

  • Một số dạng thường gặp:

Dạng 1: \(\int {P(x).{e^{{\rm{ax}} + b}}dx\,,\,\,\int {P(x)\sin ({\rm{ax}} + b)dx\,,\,\int {P(x)c{\rm{os}}({\rm{ax}} + b)dx} } }\)

Cách giải: Đặt \(u = P(x)\,,\,dv = {e^{{\rm{ax}} + b}}dx\,\) hoặc \(dv = \sin (ax + b)dx,\,\,dv = \cos (ax + b)dx.\)

Dạng 2: \(\int {P(x)\ln ({\rm{ax}} + b)dx}\)

Cách giải: Đặt \(u = \ln ({\rm{ax}} + b)\,,\,dv = P(x)dx.\)

 

-- Mod Toán 12

Copyright © 2021 HOCTAP247