Bài tập 6 trang 145 SGK Toán 12 NC

Bài tập 6 trang 145 SGK Toán 12 NC

a) Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}
u = x\\
dv = sin\frac{x}{2}dx
\end{array} \right. \)

\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = dx\\
v =  - 2\cos \frac{x}{2}
\end{array} \right.\)

Do đó:

\(\begin{array}{l}
\int {x\sin x\frac{x}{2}dx} \\
 =  - 2x\cos \frac{x}{2} + 2\int {\cos \frac{x}{2}dx} \\
 =  - 2x\cos \frac{x}{2} + 4\sin \frac{x}{2} + C
\end{array}\)

b) Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}
u = {x^2}\\
dv = \cos xdx
\end{array} \right. \)

\(\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{du = 2xdx}\\
{v = \sin x}
\end{array}} \right.\)

Do đó: 

\(\int {x^2}\cos xdx = {x^2}{\rm{sinx}} - 2\int x\sin xdx\left( 1 \right)\)

Tính \(\int x\sin xdx\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}
u = x\\
dv = sinxdx
\end{array} \right. \)

\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = dx\\
v =  - {\mathop{\rm cosx}\nolimits} 
\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}
 \Rightarrow \int x \sin xdx =  - x\cos x + \int {\cos } xdx\\
 =  - x\cos x + {\rm{sinx}} + C
\end{array}\)

Thay vào (1) ta được

\(\int {x^2}\cos xdx = {x^2}\sin x + 2x\cos x - 2\sin x + C\)

c) Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}
u = x\\
dv = {e^x}dx
\end{array} \right.\)

\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = dx\\
v = {e^x}
\end{array} \right.\)

Do đó: 

\(\begin{array}{l}
\int x {e^x}dx = x{e^x} - \int {{e^x}} dx\\
 = x{e^x} - {e^x} + C
\end{array}\)

d) Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}
u = \ln x\\
dv = {x^3}dx
\end{array} \right. \)

\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = \frac{1}{x}dx\\
v = \frac{{{x^4}}}{4}
\end{array} \right.\)

Do đó:

\(\begin{array}{l}
\int {{x^3}} \ln xdx = \frac{1}{4}{x^4}\ln x - \frac{1}{4}\int {{x^3}} dx\\
 = \frac{1}{4}{x^4}\ln x - \frac{{{x^4}}}{{16}} + C
\end{array}\)

-- Mod Toán 12