Bài tập 3.17 trang 170 SBT Toán 12
Bài tập 3.17 trang 170 SBT Toán 12
Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến:
a) \(\int \limits_1^2 x{\left( {1 - x} \right)^5}dx\) (đặt t = 1−x)
b) \(\int \limits_0^{\ln 2} \sqrt {{e^x} - 1} dx\) (đặt \(t = \sqrt {{e^x} - 1} \))
c) \(\int \limits_1^9 x\sqrt[3]{{1 - x}}dx\) (đặt \(t = \sqrt[3]{{1 - x}}\))
d) \(\int \limits_0^\pi \frac{{x\sin x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx\) (đặt \(x = \pi - t\))
e) \(\int \limits_{ - 1}^1 {x^2}{\left( {1 - {x^3}} \right)^4}dx\)
a) Đặt \(t = 1 - x \Rightarrow dx = - dt\)
\(x = 1 \Rightarrow t = 0x = 2 \Rightarrow t = - 1\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\int \limits_1^2 x{(1 - x)^5}dx = \int \limits_0^{ - 1} \left( {1 - t} \right).{t^5}\left( { - dt} \right) = \int \limits_{ - 1}^0 \left( {{t^5} - {t^6}} \right)dt\\
= \left. {\left( {\frac{{{t^6}}}{6} - \frac{{{t^7}}}{7}} \right)} \right|_{ - 1}^0 = 0 - \frac{1}{6} + \frac{{ - 1}}{7} = - \frac{{13}}{{42}}
\end{array}\)
b) Đặt \(t = \sqrt {{e^x} - 1} \Rightarrow {t^2} = {e^x} - 1 \Rightarrow 2tdt = {e^x}dx = ({t^2} + 1)dx \Rightarrow dx = \frac{{2tdt}}{{{t^2} + 1}}\)
\(x = 0 \Rightarrow t = 0x = \ln 2 \Rightarrow t = 1\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\int\limits_0^{\ln 2} {\sqrt {{e^x} - 1} } dx = \int\limits_0^1 {\frac{{2{t^2}dt}}{{{t^2} + 1}}} = \int\limits_0^1 {\left( {2 - \frac{2}{{{t^2} + 1}}} \right)dt} \\
= 2t - 2\left. {\arctan t} \right|_0^1 = 2 - 2.\frac{\pi }{4} = 2 - \frac{\pi }{2}
\end{array}\)
c) Đặt \(t = \sqrt[3]{{1 - x}} \Rightarrow {t^3} = 1 - x \Rightarrow dx = - 3{t^2}dt\)
\(x = 1 \Rightarrow t = 0x = 9 \Rightarrow t = - 2\)
Ta có:
-- Mod Toán 12
Copyright © 2021 HOCTAP247