Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính:
a) \(\small \int xln(1+x)dx\).
b) \(\int (x^2+2x+1)e^xdx\).
c) \(\small \int xsin(2x+1)dx\).
d) \(\small \int (1-x)cosxdx\).
Một số dạng nguyên hàm và cách đặt để tính bằng phương pháp nguyên hàm từng phần:
Cách giải: Đặt \(u = P(x)\,,\,dv = {e^{{\rm{ax}} + b}}dx\,\) hoặc \(dv = \sin (ax + b)dx,\,\,dv = \cos (ax + b)dx.\)
Cách giải: Đặt \(u = \ln ({\rm{ax}} + b)\,,\,dv = P(x)dx.\)
Lời giải chi tiết câu a, b, c, d bài 4 như sau:
Câu a:
Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = \ln (1 + x)\\ dv = xdx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = \frac{{dx}}{{1 + x}}\\ v = \frac{{{x^2}}}{2} \end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \int {x\ln (1 + x)dx} = \frac{{{x^2}}}{2}\ln (1 + x) - \frac{1}{2}\int {\frac{{{x^2}dx}}{{x + 1}}} \\ = \frac{{{x^2}}}{2}\ln (1 + x) - \frac{1}{2}\int {\left( {x - 1 + \frac{1}{{x + 1}}} \right)dx} \\ = \frac{{{x^2}}}{2}\ln (1 + x) - \frac{1}{2}\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - x + \ln \left| {1 + x} \right|} \right) + C\\ = \frac{1}{2}({x^2} - 1)\ln (1 + x) - \frac{{{x^2}}}{4} + \frac{x}{2} + C. \end{array}\)
Câu b:
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l} u = {x^2} + 2x - 1\\ dv = {e^x}dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = (2x + 2)dx\\ v = {e^x} \end{array} \right.\)
\(\int {({x^2} + 2x + 1)} {e^x}dx = ({x^2} + 2x - 1){e^x} - 2\int {(x + 1){e^x}dx}\)
Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = x + 1\\ dv = {e^x}dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = dx\\ v = {e^x} \end{array} \right.\)
Suy ra: \(\int {(x + 1){e^x}dx} = (x + 1){e^x} - \int {{e^x}dx} = x{e^x} + C\)
Vậy: \(\int {({x^2} + 2x - 1){e^x}dx} = ({x^2} + 2x - 1){e^x} - 2x{e^x} + C = ({x^2} - 1){e^x} + C.\)
Câu c:
Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = x\\ dv = \sin (2x + 1)dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = dx\\ v = - \frac{1}{2}\cos (2x + 1) \end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \int {x\sin (2x + 1)dx} = - \frac{x}{2}\cos (2x + 1) + \frac{1}{2}\int {\cos (2x + 1)dx} \\ = - \frac{x}{2}\cos (2x + 1) + \frac{1}{4}\sin (2x + 1) + C. \end{array}\)
Câu d:
Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = 1 - x\\ dv = \cos dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = - dx\\ v = \sin x \end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \int {(1 - x)\cos xdx} = (1 - x)\sin x + \int {\sin xdx} \\ = (1 - x)\sin x - \cos x + C. \end{array}\)
-- Mod Toán 12
Copyright © 2021 HOCTAP247