Giả sử hàm số f(x) liên tục trên đoạn [-a;a]. Chứng minh rằng
\(\int \limits_{ - a}^a f\left( x \right)dx = \left\{ \begin{array}{l}
2\int \limits_0^a f\left( x \right)\\
0
\end{array} \right.\)
nếu \(f\) chẵn hoặc \(f\) lẻ.
Áp dụng để tính \(\int \limits_{ - 2}^2 \ln \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right)dx\)
Giả sử hàm số f(x) là hàm số chẵn trên đoạn [−a;a], ta có:
\(\int \limits_{ - a}^a f(x)dx = \int \limits_{ - a}^0 f(x)dx + \int \limits_0^a f(x)dx\)
Đổi biến x = −t đối với tích phân \(\int \limits_{ - a}^0 f(x)dx\), ta được:
\(\int \limits_{ - a}^0 f(x)dx = - \int \limits_a^0 f( - t)dt = \int\limits_0^a {f\left( t \right)dt = \int\limits_0^a {f\left( x \right)dx} } \)
Vậy \(\int \limits_{ - a}^a f(x)dx = 2\int \limits_0^a f(x)dx\)
Trường hợp sau chứng minh tương tự.
Áp dụng:
Ta có:
\(\begin{array}{l}
g( - x) = \ln \left( { - x + \sqrt {1 + {{\left( { - x} \right)}^2}} } \right) = \ln \left( {\frac{1}{{x + \sqrt {1 + {x^2}} }}} \right)\\
= - \ln \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right) = - g\left( x \right)
\end{array}\)
Nên \(g(x) = \ln \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right)\) là hàm số lẻ trên đoạn [−2;2] nên \(\int \limits_{ - 2}^2 g(x)dx = 0\)
-- Mod Toán 12
Copyright © 2021 HOCTAP247