Bài tập 3.33 trang 178 SBT Toán 12
Bài tập 3.33 trang 178 SBT Toán 12
Tính thể tích các khối tròn xoay khi quay hình phẳng xác định bởi:
a) y = 2 – x2, y = 1, quanh trục Ox.
b) y = 2x – x2, y = x, quanh trục Ox.
c) \(y = {(2x + 1)^{\frac{1}{3}}},x = 0,y = 3\) quanh trục Oy.
a) Ta có: \(2 - {x^2} = 1 \Leftrightarrow {x^2} = 1\)
Khi đó
\(\begin{array}{l}
V = \pi \int \limits_{ - 1}^1 \left| {{{\left( {2 - {x^2}} \right)}^2} - 1} \right|dx\\
= \pi \int \limits_{ - 1}^1 \left| {{x^4} - 4{x^2} + 3} \right|dx\\
= \pi \left| {\int \limits_{ - 1}^1 \left( {{x^4} - 4{x^2} + 3} \right)dx} \right|\\
= \pi \left| {\left. {\left( {\frac{{{x^5}}}{5} - \frac{4}{3}{x^3} + 3x} \right)} \right|_{ - 1}^1} \right|\\
= \pi \left| {\frac{1}{5} - \frac{4}{3} + 3 + \frac{1}{5} - \frac{4}{3} + 3} \right| = \frac{{56\pi }}{{15}}
\end{array}\)
b) Ta có:
\(\begin{array}{l}
2x - {x^2} = x \Leftrightarrow {x^2} - x = 0\\
\Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\\
{x = 1}
\end{array}} \right.
\end{array}\)
Khi đó
\(\begin{array}{l}
V = \pi \int \limits_0^1 \left| {{{\left( {2x - {x^2}} \right)}^2} - {x^2}} \right|dx\\
= \pi \int \limits_0^1 \left| {4{x^2} - 4{x^3} + {x^4} - {x^2}} \right|dx\\
= \pi \left| {\int \limits_0^1 \left( {{x^4} - 4{x^3} + 3{x^2}} \right)dx} \right|\\
= \pi \left| {\left. {\left( {\frac{{{x^5}}}{5} - {x^4} + {x^3}} \right)} \right|_0^1} \right|\\
= \pi \left| {\frac{1}{5} - 1 + 1} \right| = \frac{\pi }{5}
\end{array}\)
c) Ta có: \(y = {(2x + 1)^{\frac{1}{3}}} \Leftrightarrow x = \frac{{{y^3} - 1}}{2}\) với y > 0.
Khi đó:
\(\frac{{{y^3} - 1}}{2} = 0 \Leftrightarrow {y^3} = 1 \Leftrightarrow y = 1\)
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow V = \pi \int \limits_1^3 {\left( {\frac{{{y^3} - 1}}{2}} \right)^2}dy\\
= \pi \int \limits_1^3 \frac{{{y^6} - 2{y^3} + 1}}{4}dy\\
= \frac{\pi }{4}\int \limits_1^3 \left( {{y^6} - 2{y^3} + 1} \right)dy\\
= \frac{\pi }{4}.\left. {\left( {\frac{{{y^7}}}{7} - \frac{1}{2}{y^4} + y} \right)} \right|_1^3\\
= \frac{\pi }{4}\left| {\frac{{{3^7}}}{7} - \frac{{{3^4}}}{2} + 3 - \frac{1}{7} + \frac{1}{2} - 1} \right|\\
= \frac{{480\pi }}{7}
\end{array}\)
-- Mod Toán 12
Copyright © 2021 HOCTAP247