Bài tập 27 trang 167 SGK Toán 12 NC

Bài tập 27 trang 167 SGK Toán 12 NC

a)

\(\begin{array}{l}
S = \int\limits_0^\pi  {{{\cos }^2}xdx} \\
 = \frac{1}{2}\int\limits_0^\pi  {\left( {1 + \cos 2x} \right)dx} \\
 = \left. {\frac{1}{2}\left( {x + \frac{1}{2}\sin 2x} \right)} \right|_0^\pi  = \frac{\pi }{2}\\
\sqrt x  = \sqrt[3]{x} \Leftrightarrow x = 0;x = 1
\end{array}\)

b) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là 

Trên đoạn [0;1] thì \(\sqrt[3]{x} \ge \sqrt x \) nên 

\(\begin{array}{l}
S = \int\limits_0^1 {\left( {\sqrt[3]{x} - \sqrt x } \right)dx} \\
 = \int\limits_0^1 {\left( {{x^{\frac{1}{3}}} - {x^{\frac{1}{2}}}} \right)dx} \\
 = \left. {\left( {\frac{3}{4}{x^{\frac{4}{3}}} - \frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}}} \right)} \right|_0^1\\
 = \frac{3}{4} - \frac{2}{3} = \frac{1}{{12}}
\end{array}\)

c) Trong miền x ≥ 0 hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm phương trình:

\(\begin{array}{l}
\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \ge 0}\\
{{x^4} - 2{x^2} = 2{x^2}}
\end{array}} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \ge 0}\\
{{x^2}({x^2} - 4) = 0}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\\
{x = 2}
\end{array}} \right.
\end{array}\)

Ta có: 

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
S = \int\limits_0^2 {|{x^4} - 2{x^2} - 2{x^2}|dx} \\
 = \int\limits_0^2 {|{x^2}\left( {{x^2} - 4} \right)|dx} \\
 = \int\limits_0^2 {\left( {4{x^2} - {x^4}} \right)} dx
\end{array}\\
{ = \left. {\left( {4\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^5}}}{5}} \right)} \right|_0^2 = \frac{{64}}{{15}}}
\end{array}\)

-- Mod Toán 12