Bài tập 5.1 trang 198 SBT Toán 11
Lý thuyết
Bài tập
Câu hỏi:
Bài tập 5.1 trang 198 SBT Toán 11
Sử dụng định nghĩa, hãy tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a) \(y = 3x - 5\)
b) \(y = 4{x^2} - 0,6x + 7\)
c) \(y = 4x - {x^2}\)
d) \(y = \sqrt {3x + 1} \)
e) \(y = \frac{1}{{x - 2}}\)
f) \(y = \frac{{1 + \sqrt x }}{{1 - \sqrt x }}\)
a) Với là số gia của đối số tại
Ta có \({\rm{\Delta }}y = 3\left( {{x_0} + {\rm{\Delta }}x} \right) - 5 - \left( {3{x_0} - 5} \right) = 3{\rm{\Delta }}x\)
Suy ra \(\frac{{{\rm{\Delta }}y}}{{{\rm{\Delta }}x}} = \frac{{3{\rm{\Delta }}x}}{{{\rm{\Delta }}x}} = 3\)
Vậy \(y'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{\Delta }}x \to 0} 3 = 3 \Rightarrow y' = 3\)
b) Với là số gia của đối số tại
Ta có
\(\begin{array}{l}
{\rm{\Delta }}y = 4{\left( {{x_0} + {\rm{\Delta }}x} \right)^2} - 0,6\left( {{x_0} + {\rm{\Delta }}x} \right) + 7 - \left( {4x_0^2 - 0,6{x_0} + 7} \right)\\
= 8{x_0}{\rm{\Delta }}x + 4{\left( {{\rm{\Delta }}x} \right)^2} - 0,6{\rm{\Delta }}x
\end{array}\)
Suy ra \(\frac{{{\rm{\Delta }}y}}{{{\rm{\Delta }}x}} = \frac{{8{x_0}{\rm{\Delta }}x + 4{{\left( {{\rm{\Delta }}x} \right)}^2} - 0,6{\rm{\Delta }}x}}{{{\rm{\Delta }}x}} = 8{x_0} - 0,6 + 4{\rm{\Delta }}x\)
Vậy \({y'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{\Delta }}x \to 0} \left( {8{x_0} - 0,6 + 4{\rm{\Delta }}x} \right) = 8{x_0} - 0,6 \Rightarrow y' = 8x - 0,6}\)
c) Với là số gia của đối số tại
Ta có
\({{\rm{\Delta }}y = 4\left( {{x_0} + {\rm{\Delta }}x} \right) - {{\left( {{x_0} + {\rm{\Delta }}x} \right)}^2} - \left( {4{x_0} - x_0^2} \right) = 4{\rm{\Delta }}x - 2{x_0}{\rm{\Delta }}x - {{\left( {{\rm{\Delta }}x} \right)}^2}}\)
Suy ra \(\frac{{{\rm{\Delta }}y}}{{{\rm{\Delta }}x}} = \frac{{4{\rm{\Delta }}x - 2{x_0}{\rm{\Delta }}x - {{\left( {{\rm{\Delta }}x} \right)}^2}}}{{{\rm{\Delta }}x}} = 4 - 2{x_0} - {\rm{\Delta }}x\)
Vậy \({y'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{\Delta }}x \to 0} \left( {4 - 2{x_0} - {\rm{\Delta }}x} \right) = 4 - 2{x_0} \Rightarrow y' = 4 - 2x}\)
d) Với là số gia của đối số tại
Ta có
\(\begin{array}{l}
{\rm{\Delta }}y = \sqrt {3\left( {{x_0} + {\rm{\Delta }}x} \right) + 1} - \sqrt {3{x_0} + 1} \\
= \frac{{3\left( {{x_0} + {\rm{\Delta }}x} \right) + 1 - 3{x_0} - 1}}{{\sqrt {3\left( {{x_0} + {\rm{\Delta }}x} \right) + 1} + \sqrt {3{x_0} + 1} }} = \frac{{3{\rm{\Delta }}x}}{{\sqrt {3\left( {{x_0} + {\rm{\Delta }}x} \right) + 1} + \sqrt {3{x_0} + 1} }}
\end{array}\)
Suy ra \(\frac{{{\rm{\Delta }}y}}{{{\rm{\Delta }}x}} = \frac{{\frac{{3{\rm{\Delta }}x}}{{\sqrt {3\left( {{x_0} + {\rm{\Delta }}x} \right) + 1} + \sqrt {3{x_0} + 1} }}}}{{{\rm{\Delta }}x}} = \frac{3}{{\sqrt {3\left( {{x_0} + {\rm{\Delta }}x} \right) + 1} + \sqrt {3{x_0} + 1} }}\)
Vậy \({y'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{\Delta }}x \to 0} \left( {\frac{3}{{\sqrt {3\left( {{x_0} + {\rm{\Delta }}x} \right) + 1} + \sqrt {3{x_0} + 1} }}} \right) = \frac{3}{{2\sqrt {3{x_0} + 1} }} \Rightarrow y' = \frac{3}{{2\sqrt {3x + 1} }}}\)
Ta có \({\rm{\Delta }}y = 3\left( {{x_0} + {\rm{\Delta }}x} \right) - 5 - \left( {3{x_0} - 5} \right) = 3{\rm{\Delta }}x\)
Suy ra \(\frac{{{\rm{\Delta }}y}}{{{\rm{\Delta }}x}} = \frac{{3{\rm{\Delta }}x}}{{{\rm{\Delta }}x}} = 3\)
Vậy \(y'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{\Delta }}x \to 0} 3 = 3 \Rightarrow y' = 3\)
b) Với là số gia của đối số tại
Ta có
\(\begin{array}{l}
{\rm{\Delta }}y = 4{\left( {{x_0} + {\rm{\Delta }}x} \right)^2} - 0,6\left( {{x_0} + {\rm{\Delta }}x} \right) + 7 - \left( {4x_0^2 - 0,6{x_0} + 7} \right)\\
= 8{x_0}{\rm{\Delta }}x + 4{\left( {{\rm{\Delta }}x} \right)^2} - 0,6{\rm{\Delta }}x
\end{array}\)
Suy ra \(\frac{{{\rm{\Delta }}y}}{{{\rm{\Delta }}x}} = \frac{{8{x_0}{\rm{\Delta }}x + 4{{\left( {{\rm{\Delta }}x} \right)}^2} - 0,6{\rm{\Delta }}x}}{{{\rm{\Delta }}x}} = 8{x_0} - 0,6 + 4{\rm{\Delta }}x\)
Vậy \({y'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{\Delta }}x \to 0} \left( {8{x_0} - 0,6 + 4{\rm{\Delta }}x} \right) = 8{x_0} - 0,6 \Rightarrow y' = 8x - 0,6}\)
c) Với là số gia của đối số tại
Ta có
\({{\rm{\Delta }}y = 4\left( {{x_0} + {\rm{\Delta }}x} \right) - {{\left( {{x_0} + {\rm{\Delta }}x} \right)}^2} - \left( {4{x_0} - x_0^2} \right) = 4{\rm{\Delta }}x - 2{x_0}{\rm{\Delta }}x - {{\left( {{\rm{\Delta }}x} \right)}^2}}\)
Suy ra \(\frac{{{\rm{\Delta }}y}}{{{\rm{\Delta }}x}} = \frac{{4{\rm{\Delta }}x - 2{x_0}{\rm{\Delta }}x - {{\left( {{\rm{\Delta }}x} \right)}^2}}}{{{\rm{\Delta }}x}} = 4 - 2{x_0} - {\rm{\Delta }}x\)
Vậy \({y'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{\Delta }}x \to 0} \left( {4 - 2{x_0} - {\rm{\Delta }}x} \right) = 4 - 2{x_0} \Rightarrow y' = 4 - 2x}\)
d) Với là số gia của đối số tại
Ta có
\(\begin{array}{l}
{\rm{\Delta }}y = \sqrt {3\left( {{x_0} + {\rm{\Delta }}x} \right) + 1} - \sqrt {3{x_0} + 1} \\
= \frac{{3\left( {{x_0} + {\rm{\Delta }}x} \right) + 1 - 3{x_0} - 1}}{{\sqrt {3\left( {{x_0} + {\rm{\Delta }}x} \right) + 1} + \sqrt {3{x_0} + 1} }} = \frac{{3{\rm{\Delta }}x}}{{\sqrt {3\left( {{x_0} + {\rm{\Delta }}x} \right) + 1} + \sqrt {3{x_0} + 1} }}
\end{array}\)
Suy ra \(\frac{{{\rm{\Delta }}y}}{{{\rm{\Delta }}x}} = \frac{{\frac{{3{\rm{\Delta }}x}}{{\sqrt {3\left( {{x_0} + {\rm{\Delta }}x} \right) + 1} + \sqrt {3{x_0} + 1} }}}}{{{\rm{\Delta }}x}} = \frac{3}{{\sqrt {3\left( {{x_0} + {\rm{\Delta }}x} \right) + 1} + \sqrt {3{x_0} + 1} }}\)
Vậy \({y'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{\Delta }}x \to 0} \left( {\frac{3}{{\sqrt {3\left( {{x_0} + {\rm{\Delta }}x} \right) + 1} + \sqrt {3{x_0} + 1} }}} \right) = \frac{3}{{2\sqrt {3{x_0} + 1} }} \Rightarrow y' = \frac{3}{{2\sqrt {3x + 1} }}}\)
e) Với là số gia của đối số tại
Ta có \({{\rm{\Delta }}y = \frac{1}{{{x_0} + {\rm{\Delta }}x - 2}} - \frac{1}{{{x_0} - 2}} = \frac{{\left( {{x_0} - 2} \right) - \left( {{x_0} + {\rm{\Delta }}x - 2} \right)}}{{\left( {{x_0} + {\rm{\Delta }}x - 2} \right)\left( {{x_0} - 2} \right)}} = \frac{{ - {\rm{\Delta }}x}}{{\left( {{x_0} + {\rm{\Delta }}x - 2} \right)\left( {{x_0} - 2} \right)}}}\)
Suy ra \(\frac{{{\rm{\Delta }}y}}{{{\rm{\Delta }}x}} = \frac{{\frac{{ - {\rm{\Delta }}x}}{{\left( {{x_0} + {\rm{\Delta }}x - 2} \right)\left( {{x_0} - 2} \right)}}}}{{{\rm{\Delta }}x}} = - \frac{1}{{\left( {{x_0} + {\rm{\Delta }}x - 2} \right)\left( {{x_0} - 2} \right)}}\)
Vậy \({y'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{\Delta }}x \to 0} \left( { - \frac{1}{{\left( {{x_0} + {\rm{\Delta }}x - 2} \right)\left( {{x_0} - 2} \right)}}} \right) = - \frac{1}{{{{\left( {{x_0} - 2} \right)}^2}}} \Rightarrow y' = - \frac{1}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}}\)
f) \(y = \frac{{1 + \sqrt x }}{{1 - \sqrt x }} = - \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} = - \frac{{\sqrt x - 1 + 2}}{{\sqrt x - 1}} = - 1 - \frac{2}{{\sqrt x - 1}}\)
Với là số gia của đối số tại
Ta có
\(\begin{array}{l}
\Delta y = - 1 - \frac{2}{{\sqrt {{x_0} + \Delta x} - 1}} - \left( { - 1 - \frac{2}{{\sqrt {{x_0}} - 1}}} \right)\\
= \frac{2}{{\sqrt {{x_0}} - 1}} - \frac{2}{{\sqrt {{x_0} + \Delta x} - 1}}\\
= 2.\frac{{\sqrt {{x_0} + \Delta x} - 1 - \left( {\sqrt {{x_0}} - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt {{x_0}} - 1} \right)\left( {\sqrt {{x_0} + \Delta x} - 1} \right)}}\\
= 2.\frac{{\sqrt {{x_0} + \Delta x} - \sqrt {{x_0}} }}{{\left( {\sqrt {{x_0}} - 1} \right)\left( {\sqrt {{x_0} + \Delta x} - 1} \right)}}\\
= \frac{{2\Delta x}}{{\left( {\sqrt {{x_0} + \Delta x} + \sqrt {{x_0}} } \right)\left( {\sqrt {{x_0}} - 1} \right)\left( {\sqrt {{x_0} + \Delta x} - 1} \right)}}
\end{array}\)
Suy ra
\(\begin{array}{l}
\frac{{{\rm{\Delta }}y}}{{{\rm{\Delta }}x}} = \frac{{\frac{{2{\rm{\Delta }}x}}{{\left( {\sqrt {{x_0} + {\rm{\Delta }}x} + \sqrt {{x_0}} } \right)\left( {\sqrt {{x_0}} - 1} \right)\left( {\sqrt {{x_0} + {\rm{\Delta }}x} - 1} \right)}}}}{{{\rm{\Delta }}x}}\\
= \frac{2}{{\left( {\sqrt {{x_0} + {\rm{\Delta }}x} + \sqrt {{x_0}} } \right)\left( {\sqrt {{x_0}} - 1} \right)\left( {\sqrt {{x_0} + {\rm{\Delta }}x} - 1} \right)}}
\end{array}\)
Vậy
\(\begin{array}{l}
y'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {\frac{2}{{\left( {\sqrt {{x_0} + \Delta x} + \sqrt {{x_0}} } \right)\left( {\sqrt {{x_0} - 1} } \right)\left( {\sqrt {{x_0} + \Delta x} - 1} \right)}}} \right)\\
= \frac{2}{{2\sqrt {{x_0}} {{\left( {\sqrt {{x_0}} - 1} \right)}^2}}} = \frac{1}{{\sqrt {{x_0}} {{\left( {\sqrt {{x_0}} - 1} \right)}^2}}}
\end{array}\)
Suy ra \(\frac{{{\rm{\Delta }}y}}{{{\rm{\Delta }}x}} = \frac{{\frac{{ - {\rm{\Delta }}x}}{{\left( {{x_0} + {\rm{\Delta }}x - 2} \right)\left( {{x_0} - 2} \right)}}}}{{{\rm{\Delta }}x}} = - \frac{1}{{\left( {{x_0} + {\rm{\Delta }}x - 2} \right)\left( {{x_0} - 2} \right)}}\)
Vậy \({y'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{\Delta }}x \to 0} \left( { - \frac{1}{{\left( {{x_0} + {\rm{\Delta }}x - 2} \right)\left( {{x_0} - 2} \right)}}} \right) = - \frac{1}{{{{\left( {{x_0} - 2} \right)}^2}}} \Rightarrow y' = - \frac{1}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}}\)
f) \(y = \frac{{1 + \sqrt x }}{{1 - \sqrt x }} = - \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} = - \frac{{\sqrt x - 1 + 2}}{{\sqrt x - 1}} = - 1 - \frac{2}{{\sqrt x - 1}}\)
Với là số gia của đối số tại
Ta có
\(\begin{array}{l}
\Delta y = - 1 - \frac{2}{{\sqrt {{x_0} + \Delta x} - 1}} - \left( { - 1 - \frac{2}{{\sqrt {{x_0}} - 1}}} \right)\\
= \frac{2}{{\sqrt {{x_0}} - 1}} - \frac{2}{{\sqrt {{x_0} + \Delta x} - 1}}\\
= 2.\frac{{\sqrt {{x_0} + \Delta x} - 1 - \left( {\sqrt {{x_0}} - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt {{x_0}} - 1} \right)\left( {\sqrt {{x_0} + \Delta x} - 1} \right)}}\\
= 2.\frac{{\sqrt {{x_0} + \Delta x} - \sqrt {{x_0}} }}{{\left( {\sqrt {{x_0}} - 1} \right)\left( {\sqrt {{x_0} + \Delta x} - 1} \right)}}\\
= \frac{{2\Delta x}}{{\left( {\sqrt {{x_0} + \Delta x} + \sqrt {{x_0}} } \right)\left( {\sqrt {{x_0}} - 1} \right)\left( {\sqrt {{x_0} + \Delta x} - 1} \right)}}
\end{array}\)
Suy ra
\(\begin{array}{l}
\frac{{{\rm{\Delta }}y}}{{{\rm{\Delta }}x}} = \frac{{\frac{{2{\rm{\Delta }}x}}{{\left( {\sqrt {{x_0} + {\rm{\Delta }}x} + \sqrt {{x_0}} } \right)\left( {\sqrt {{x_0}} - 1} \right)\left( {\sqrt {{x_0} + {\rm{\Delta }}x} - 1} \right)}}}}{{{\rm{\Delta }}x}}\\
= \frac{2}{{\left( {\sqrt {{x_0} + {\rm{\Delta }}x} + \sqrt {{x_0}} } \right)\left( {\sqrt {{x_0}} - 1} \right)\left( {\sqrt {{x_0} + {\rm{\Delta }}x} - 1} \right)}}
\end{array}\)
Vậy
\(\begin{array}{l}
y'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {\frac{2}{{\left( {\sqrt {{x_0} + \Delta x} + \sqrt {{x_0}} } \right)\left( {\sqrt {{x_0} - 1} } \right)\left( {\sqrt {{x_0} + \Delta x} - 1} \right)}}} \right)\\
= \frac{2}{{2\sqrt {{x_0}} {{\left( {\sqrt {{x_0}} - 1} \right)}^2}}} = \frac{1}{{\sqrt {{x_0}} {{\left( {\sqrt {{x_0}} - 1} \right)}^2}}}
\end{array}\)
\( \Rightarrow y' = \frac{1}{{\sqrt x {{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}\)
-- Mod Toán 11
Copyright © 2021 HOCTAP247