Bài tập 54 trang 221 SGK Toán 11 NC

Bài tập 54 trang 221 SGK Toán 11 NC

Với mọi x ≠ 1, ta có: 

\(y\prime  =  - \frac{1}{{{{(x - 1)}^2}}}\)

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị đã cho tại điểm \({M_0}\left( {{x_0};\frac{1}{{{x_0} - 1}}} \right)\) (với x₀ ≠ 1) là:

\(y =  - \frac{1}{{{{({x_0} - 1)}^2}}}(x - {x_0}) + \frac{1}{{{x_0} - 1}}\)

Tiếp tuyến này cắt trục hoành tại điểm A có hoành độ x_A thỏa mãn:

\(\frac{{{x_A} - {x_0}}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} = \frac{1}{{{x_0} - 1}} \Leftrightarrow {x_A} = 2{x_0} - 1\)

và cắt trục tung tại điểm B có tung độ y_B là:

\({y_B} = \frac{{{x_0}}}{{{{({x_0} - 1)}^2}}} + \frac{1}{{{x_0} - 1}} = \frac{{2{x_0} - 1}}{{{{({x_0} - 1)}^2}}}\)

Ta có: 

\(\begin{array}{l}
{S_{OAB}} = 2 \Leftrightarrow \frac{1}{2}|{x_A}|.|{y_B}| = 2\\
 \Leftrightarrow \frac{{{{(2{x_0} - 1)}^2}}}{{{{({x_0} - 1)}^2}}} = 4 \Leftrightarrow {x_0} = \frac{3}{4}
\end{array}\)

\( \Rightarrow {y_0} = \frac{1}{{\frac{3}{4} - 1}} =  - 4.\)

Vậy điểm cần tìm là \({M_0}\left( {\frac{3}{4}; - 4} \right)\)

-- Mod Toán 11