Bài tập 11 trang 225 SGK Toán 11 NC
Bài tập 11 trang 225 SGK Toán 11 NC
Ta đã biết \(\cos \frac{\pi }{{{2^2}}} = \frac{1}{2}\sqrt 2 \) Chứng minh rằng :
a. \(\cos \frac{\pi }{{{2^3}}} = \frac{1}{2}\sqrt {2 + \sqrt 2 } \)
b. \(\cos \frac{\pi }{{{2^n}}} = \frac{1}{2}\underbrace {\sqrt {2 + \sqrt {2 + \sqrt {....... + \sqrt 2 } } } }_{n - 1}\) (1) với mọi số nguyên n ≥ 2.
a.
\(\begin{array}{l}
{\cos ^2}\frac{\pi }{{{2^3}}} = {\cos ^2}\frac{\pi }{8} = \frac{{1 + \cos \frac{\pi }{4}}}{2}\\
= \frac{{1 + \frac{{\sqrt 2 }}{2}}}{2} = \frac{{2 + \sqrt 2 }}{4}\\
\Rightarrow \cos \frac{\pi }{{{2^3}}} = \frac{1}{2}\sqrt {2 + \sqrt 2 }
\end{array}\)
b. Với n = 2 ta có \(\cos \frac{\pi }{4} = \frac{1}{2}\sqrt 2 \left( 1 \right)\) đúng.
Giả sử (1) đúng với n = k tức là :
\(\cos \frac{\pi }{{{2^k}}} = \frac{1}{2}\sqrt {2 + \sqrt {2 + ... + \sqrt 2 } } \)
(k – 1 dấu căn)
Với n = k + 1 ta có
\(\begin{array}{l}
{\cos ^2}\frac{\pi }{{{2^{k + 1}}}} = \frac{1}{2}\left( {1 + \cos \frac{\pi }{{{2^k}}}} \right)\\
= \frac{1}{2}\left( {1 + \frac{1}{2}\sqrt {2 + \sqrt {2 + ... + \sqrt 2 } } } \right)\\
= \frac{1}{4}\left( {2 + \sqrt {2 + \sqrt {2 + ... + \sqrt 2 } } } \right)\\
\Rightarrow \cos \frac{\pi }{{{2^{k + 1}}}} = \frac{1}{2}\sqrt {2 + \sqrt {2 + ... + \sqrt 2 } }
\end{array}\)
(k dấu căn)
Vậy (1) đúng với n = k + 1 do đó (1) đúng với \(\forall n \ge 2\).
-- Mod Toán 11
Copyright © 2021 HOCTAP247