Bài tập 3 trang 179 SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 3 trang 179 SGK Đại số & Giải tích 11

Câu a:

Phương trình đã cho được viết lại về dạng tương đương:

\(2sin\frac{x}{2}(cos^2x-sin^2x)=cos2x\Leftrightarrow 2sin\frac{x}{2}cos2x-cos2x=0\)

\(\Leftrightarrow cos2x(2sin\frac{x}{2}-1)=0\Leftrightarrow \Bigg \lbrack \begin{matrix} cos2x=0\\ \\ sin \frac{x}{2}=\frac{1}{2} \end{matrix}\)

\(\Leftrightarrow \Bigg \lbrack \begin{matrix} 2x=\frac{\pi}{2}+k\pi\\ \frac{x}{2}=\frac{\pi}{6}+k2\pi\\ \frac{x}{2}=\frac{5\pi}{6}+k2\pi \end{matrix}\Leftrightarrow \Bigg \lbrack \begin{matrix} x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}\\ x=\frac{\pi}{3}+k4\pi\\ x=\frac{5\pi}{3}+k4\pi \end{matrix}, (k\in \mathbb{Z})\)

Câu b:

Phương trình đã cho được viết lại dưới dạng tương đương:

\(\frac{3}{5}cosx+\frac{4}{5}sinx=1.\)

Nhận thấy \(\left ( \frac{3}{5} \right )^2+\left ( \frac{4}{5} \right )^2=1\) nên \(\exists \alpha\) sao cho: \(sin\alpha =\frac{3}{5};cos\alpha =\frac{4}{5}\)

Khi đó phương trình trở thành: \(sin\alpha cosx+cos\alpha sinx=1\)

\(\Leftrightarrow sin(x+\alpha )=1\Leftrightarrow x+\alpha = \frac{\pi }{2}+k2\pi\Leftrightarrow x= \frac{\pi }{2}-\alpha +k2\pi\)\((k\in \mathbb{Z}, sin\alpha =\frac{3}{5},cos\alpha =\frac{4}{5}).\)

Câu c:

Đặt \(sinx+cosx=t\), với điều kiện \(t\in \left [ -\sqrt{2};\sqrt{2} \right ]\), ta có:

\(sinxcosx=\frac{-1+t^2}{2}\Leftrightarrow t^2-2t+1=0\Leftrightarrow t=1\)

Do đó phương trình ban đầu tương đương với:

\(sinx+cosx=1\Leftrightarrow sin(x+\frac{\pi }{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\Leftrightarrow \Bigg \lbrack \begin{matrix} x+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ \\ x+\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}+k2\pi \end{matrix}\Leftrightarrow \Bigg \lbrack \begin{matrix} x=k2\pi \\ \\ x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \end{matrix}, (k\in \mathbb{Z})\)

Câu d:

Phương trình đã cho được viết lại dưới dạng tương đương:

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} sinx\geq 0\\ 1-cosx=sin^2x\\ x\in \left [ \pi ;3\pi \right ] \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\in \left [ 2\pi ;3\pi \right ]\\ \bigg \lbrack \begin{matrix} cosx=0\\ cosx=1 \end{matrix}\\ \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\in \left [ 2\pi ;3\pi \right ]\\ x=\frac{\pi }{2}+k\frac{\pi }{2}\\ x\neq 3\pi \end{matrix}\right.(k\in \mathbb{Z})\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \Bigg \lbrack \begin{matrix} x=2 \pi\\ x=\frac{5\pi }{2}\\ x=3\pi \end{matrix}\\ x\neq 3\pi \end{matrix}\right.\)

Vậy trên \([\pi ;3 \pi]\) phương trình có 2 nghiệm \(x=2\pi;x=\frac{5\pi }{2}\).

Câu e:

Phương trình đã cho được viết dưới dạng tương đương:

\(cos\frac{x}{4}sinx+sin\frac{x}{4}cosx-2(sin^2x+cos^2x)+cosx=0\)

\(\Leftrightarrow sin\frac{5x}{4}+cosx=2(*)\)

Vì \(sin\frac{5x}{4}\leq 1\) và \(cosx\leq 1\) với mọi \(x\in \mathbb{R}\), nên:

\((*)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} sin\frac{5x}{4}=1\\ cosx=1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} cos \frac{x}{4}sinx+sin \frac{x}{4}cosx=1\\ cosx=1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} sin \frac{x}{4}=1\\ cosx=1 \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} sin \frac{x}{4}=1\\ 2sin^2\frac{x}{2}=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} sin\frac{x}{4}=1\\ sin\frac{x}{2}=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} sin\frac{x}{4}=1\\ 2sin\frac{x}{4}cos\frac{x}{4}=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} sin\frac{x}{4}=1\\ cos\frac{x}{4}=0 \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \frac{x}{4}=\frac{\pi}{2}+k2\pi\Leftrightarrow x=2\pi+k8\pi (k\in \mathbb{Z})\)

-- Mod Toán 11