Bài tập 1.11 trang 18 SBT Hình học 12

Bài tập 1.11 trang 18 SBT Hình học 12

Kẻ \(SH \bot \left( {ABC} \right)\) và HA′, HB′, HC′ lần lượt vuông góc với BC, CA, AB. Theo định lí ba đường vuông góc ta có \(SA' \bot BC,SB' \bot CA,SC' \bot AB\)

Từ đó suy ra \(\widehat {SA'H} = \widehat {SB'H} = \widehat {SC'H} = {60^0}\).

\( \Rightarrow {\rm{\Delta }}SHA' = {\rm{\Delta }}SHB' = {\rm{\Delta }}SHC'\)

\( \Rightarrow HA' = HB' = HC'\)

Do đó H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Do tam giác cân ở A nên AH vừa là đường phân giác, vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến.

⇒ A,H,A′ thẳng hàng và A′ là trung điểm của BC.

Tam giác AA'B vuông tại A′ nên \(A{A^{\prime 2}} = A{B^2} - B{A^{\prime 2}} = 25{a^2} - 9{a^2} = 16{a^2} \Rightarrow AA' = 4a\)

Gọi p là nửa chu vi của tam giác ABC, r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác r = HA′.

Khi đó \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}6a.4a = 12{a^2} = pr = 8ar\)

\(\Rightarrow r = \frac{3}{2}a\)

\( \Rightarrow SH = HA'.\tan {60^0} = \frac{{3a}}{2}\sqrt 3  = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}a\)

Thể tích khối chóp là \(V = \frac{1}{3}.12{a^2}.\frac{{3\sqrt 3 }}{2}a = 6\sqrt 3 {a^3}\)

-- Mod Toán 12