Bài tập 1.59 trang 24 SBT Hình học 12
Bài tập 1.59 trang 24 SBT Hình học 12
Cho khối lập phương ABCD.A′B′C′D′ cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,AD. Mặt phẳng (MB′D′N) chia khối lập phương đã cho thành hai khối đa diện. Gọi (H) là khối đa diện chứa đỉnh A. Thể tích của khối đa diện (H) bằng:
A. \(\frac{{{a^3}}}{9}\)
B. \(\frac{{{a^3}}}{6}\)
C. \(\frac{{{a^3}}}{4}\)
D. \(\frac{{7{a^3}}}{{24}}\)
.png)
Kéo dài B′M, D′N cắt nhau tại S.
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\left( {B'MND'} \right) \cap \left( {ABB'A'} \right) = B'M}\\
{\left( {B'MND'} \right) \cap \left( {ADD'A'} \right) = D'N}\\
{\left( {ABB'A'} \right) \cap \left( {ADD'A'} \right) = AA'}\\
{B'M \cap D'N = \left\{ S \right\}}
\end{array}} \right.\\
\Rightarrow S \in A'A
\end{array}\)
Lại có \(\frac{{SA}}{{SA'}} = \frac{{SN}}{{SD'}} = \frac{{AN}}{{A'D'}} = \frac{1}{2} \)
\(\Rightarrow SA = \frac{1}{2}SA'\) hay A là trung điểm của SA′ hay \(SA = A'A = a\).
Ta có:
\({V_{S.AMN}} = \frac{1}{3}SA.{S_{AMN}} \)
\(= \frac{1}{3}a.\frac{1}{2}.\frac{a}{2}.\frac{a}{2} = \frac{{{a^3}}}{{24}}\)
\({V_{S.A'B'D'}} = \frac{1}{3}SA'.{S_{A'B'D'}} \)
\(= \frac{1}{3}2a.\frac{1}{2}a.a = \frac{{{a^3}}}{3}\)
Vậy \({V_{AMN.A'B'D'}} = {V_{S.A'B'D'}} - {V_{S.AMN}}\)
\(= \frac{{{a^3}}}{3} - \frac{{{a^3}}}{{24}} = \frac{{7{a^3}}}{{24}}\)
Chọn D.
-- Mod Toán 12
Copyright © 2021 HOCTAP247