Bài tập 17 trang 28 SGK Hình học 12 NC

Bài tập 17 trang 28 SGK Hình học 12 NC

AA′B′D′ là tứ diện đều nên đường cao AH có H là tâm của tam giác đều A′B′D′ cạnh a do đó.

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{A\prime H = \frac{2}{3}A\prime O\prime  = \frac{2}{3}\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}}\\
\begin{array}{l}
 \Rightarrow A{H^2} = AA{\prime ^2} - A\prime {H^2}\\
 = {a^2} - \frac{{{a^2}}}{3} = \frac{{2{a^2}}}{3}
\end{array}\\
{ \Rightarrow AH = a\sqrt {\frac{2}{3}}  = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}}
\end{array}\)

Diện tích tam giác đều A′B′D′: 

\({S_{A'B'D'}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)

Diện tích hình thoi A′B′C′D′: 

\({S_{A'B'C'D'}} = 2{S_{B'C'D'}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\)

Vậy thể tích khối hộp đã cho là:

\(V = B.h = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}.\frac{{a\sqrt 6 }}{3} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{2}\)

-- Mod Toán 12