Bài tập 1.53 trang 23 SBT Hình học 12

Bài tập 1.53 trang 23 SBT Hình học 12

Ta có: \(SC \bot \left( {AMN} \right) \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{SC \bot AM}\\
{SC \bot MN}
\end{array}} \right.\).

Tam giác ABC có \(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2}\) nên vuông tại B.

Suy ra \(AB \bot BC\), mà \(SA \bot BC\) 

Nên \(BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB\).

Tam giác SMN đồng dạng tam giác SCB (g.g) 

\( \Rightarrow \frac{{{S_{SMN}}}}{{{S_{SCB}}}} = {\left( {\frac{{SN}}{{SB}}} \right)^2}\)

Tam giác SAC vuông cân tại A có:

\(AN \bot SC \Rightarrow SN = \frac{1}{2}SC = \frac{1}{2}\sqrt {{5^2} + {5^2}}\)

\(  = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\).

Tam giác SAB có:

\(SA = 5,AB = 3 \Rightarrow SB = \sqrt {34} \)

\( \Rightarrow \frac{{{S_{SMN}}}}{{{S_{SCB}}}} = {\left( {\frac{{SN}}{{SB}}} \right)^2} = \frac{{25}}{{68}} \Rightarrow \frac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{25}}{{68}}\)

Mà \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SA.{S_{ABC}}\)

\(= \frac{1}{3}.5.\frac{1}{2}.3.4 = 10\) 

Nên \({V_{S.AMN}} = \frac{{25}}{{68}}.10 = \frac{{125}}{{34}}\).

Chọn B.

-- Mod Toán 12