Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. SA vuông góc với đáy và AB=a, AD=b, SA=c. Lấy các điểm B', D' theo thứ tự thuộc SB, SD sao cho \(AB'\perp SB, AD'\perp SD\). Mặt phẳng (AB'D') cắt SC tại C'. Tính thể tích khối chóp S.AB'C'D'.
Dựng điểm C' như hình vẽ.
Ta có: \(BC\perp AB\) (giả thiết) (1)
Mặt khác: \(SA\perp (ABCD)\) nên \(SA\perp BC\) (2)
Từ (1) và (2) ta có: \(BC\perp (SAB)\)
\(\Rightarrow BC\perp AB'\) (3)
Ta có: \(AB'\perp SB\) (giả thiết) (4)
Từ (3) và (4) suy ra suy ra \(AB'\perp (SBC)\)
Hay ta có được \(AB'\perp BC'\)
\(\Leftrightarrow \Delta AB'C'\) vuông tại B'
Hoàn toàn tương tự ta cũng có \(\Delta AD'C'\) vuông tại D'
Ta có: \(AB'\perp SC;AD'\perp SC\)
(vì \(AB'\perp (SBC), AD'\perp (SDC)\))
Nên \(SC\perp (AB'C'D')\). Vì vậy:
\(V_{S.AB'C'D'}=\frac{1}{3}.S_{AB'C'D'}.SC'\)
\(=\frac{1}{3} \left [ S_{\Delta AB'C'}+S_{\Delta AD'C'} \right ].SC'\)
\(=\frac{1}{6}\left [ AB'.B'C'+AD'.D'C' \right ].SC' \ \ (*)\)
Ta có:
\(\frac{1}{AB^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{c^2}=\frac{a^2+c^2}{a^2.c^2} \)
\(\Rightarrow AB^2=\frac{a^2.c^2}{a^2+c^2}\Rightarrow AB^2= \frac{ac}{\sqrt{a^2+c^2}}\) (5)
Tương tự: \(AD'^2=\frac{b^2c^2}{b^2+c^2}\Rightarrow AD'=\frac{bc}{\sqrt{b^2+c^2}}\) (6)
\(\frac{1}{AC'^2}=\frac{1}{c^2}+\frac{1}{AC^2}=\frac{1}{c^2}+\frac{1}{a^2+b^2}\)
\(= \frac{a^2+b^2+c^2}{c^2(a^2+b^2)}\)
\(\Rightarrow AC'^2=\frac{c^2(a^2+b^2)}{a^2+b^2+c^2}\)
\(\Rightarrow AC'= \frac{c\sqrt{a^2+b^2}}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\) (7)
\(\Rightarrow B'C'^2=AC'^2-AB'^2\)
\(=-\frac{a^2c^2}{a^2+c^2}+\frac{c^2(a^2+b^2)}{a^2+b^2+c^2}\)
\(=\frac{-a^4c^2-a^2b^2c^2-a^2c^4+a^4c^2+c^4a^2+a^2b^2c^2+c^4b^2} {(a^2+c^2)(a^2+b^2+c^2)}\)
\(=\frac{c^4b^2}{(a^2+c^2)(a^2+b^2+c^2)}\)
\(\Rightarrow B'C'=\frac{c^2b}{\sqrt{(a^2+c^2)(a^2+b^2+c^2)}} \ \ (8)\)
Tương tự: \(C'D'=\frac{c^2a}{\sqrt{(b^2+c^2)(a^2+b^2+c^2)}} \ \ (9);\)
\(SC'= \frac{c^2}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \ \ (10)\)
Thay (5) (6) (7) (8) (9) và (10) vào (*) ta có:
\(V_{S.AB'C'D'}=\)
\(\frac{1}{6}\Bigg [ \frac{ac}{\sqrt{a^2+c^2}}.\frac{c^2b}{(a^2+c^2)(a^2+b^2+c^2)}\).\(+ \frac{bc}{\sqrt{a^2+c^2}}. \frac{c^2a}{\sqrt{(b^2+c^2)}(a^2+b^2+c^2)} \Bigg ]\) \(\frac{c^2}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\)
\(=\frac{1}{6}\frac{c^5ab}{a^2+b^2+c^2} \left [ \frac{1}{a^2+c^2}+\frac{1}{b^2+c^2} \right ]\)
-- Mod Toán 12
Copyright © 2021 HOCTAP247