Chứng minh rằng :
a) Hợp thành của hai phép đối xứng qua hai mặt phẳng song song (P) và (Q) là một phép tịnh tiến ;
b) Hợp thành của hai phép đối xứng qua hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau là một phép đối xứng qua đường thẳng.
a)
Lấy hai điểm A và B lần lượt nằm trên (P) và (Q) sao cho AB ⊥ (P). Với một điểm M bất kì, ta gọi M1 là điểm đối xứng với M qua mp(P) và M′ là điểm đối xứng với M1 qua mp(Q)
Như vậy M′ là ảnh của M qua phép hợp thành của phép đối xứng qua mp(P)và phép đối xứng qua mp(Q).
Gọi H và K lần lượt là trung điểm của MM1 và M1M′ thì ta có:
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {MM'} = \overrightarrow {M{M_1}} + \overrightarrow {{M_1}M'} \\
= 2\left( {\overrightarrow {H{M_1}} + \overrightarrow {{M_1}K} } \right) = 2\overrightarrow {HK} = 2\overrightarrow {AB}
\end{array}\)
Như vậy phép hợp thành nói trên chính là phép tịnh tiến theo vectơ \(2\overrightarrow {AB} \)
b)
Giả sử (P) ⊥ (Q) và d = (P) ∩ (Q)
Gọi M1 là điểm đối xứng của M qua (P) và H là trung điêm của MM1
Gọi M′ là điểm đối xứng của M1 qua (Q) và K là trung điểm của M1M′
Gọi O là giao điểm của (MM1M′) với d
Ta có (MM1M′) ⊥ (P); (MM1M′) ⊥ (Q) ⇒ (MM1M′) ⊥ d
Ta có OHM1K là hình chữ nhật và
\(\begin{array}{*{20}{l}}
{\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {OM'} = \overrightarrow {OH} + \overrightarrow {HM} + \overrightarrow {OK} + \overrightarrow {KM'} }\\
\begin{array}{l}
= \left( {\overrightarrow {OH} + \overrightarrow {OK} } \right) + \left( {\overrightarrow {{M_1}H} + \overrightarrow {{M_1}K} } \right)\\
= \overrightarrow {O{M_1}} + \overrightarrow {{M_1}O} = \vec 0
\end{array}
\end{array}\)
Suy ra O là trung điểm của MM′, mặt khác MM′ ⊥ d. Vậy phép hợp thành của phép đối xứng qua mp(P) và phép đối xứng qua mp(Q) với (P) ⊥ (Q) là phép đối xứng qua đường thẳng d.
-- Mod Toán 12
Copyright © 2021 HOCTAP247