Bài tập 1.57 trang 24 SBT Hình học 12

Bài tập 1.57 trang 24 SBT Hình học 12

Gọi M là trung điểm của CD, O là tâm của hình vuông ABCD.

Đặt CD = x. Do \({S_{SCD}} = \frac{{{a^2}}}{2} \Rightarrow SM = \frac{{2{S_{SCD}}}}{{CD}} = \frac{{{a^2}}}{x}\)

Lại có \(OM \bot CD,SM \bot CD\) nên góc giữa (SCD) và (ABCD) bằng \(\widehat {SMO} = {60^0}\)

Tam giác SOM vuông tại O có:

\(OM = \frac{x}{2}\), \(SM = \frac{{{a^2}}}{x}\) và 

\(\widehat {SMO} = {60^0}\)

\( \Rightarrow \cos {60^0} = \frac{{OM}}{{SM}} \Leftrightarrow \frac{1}{2} = \frac{x}{2}:\frac{{{a^2}}}{x}\Leftrightarrow x = a\)

\( \Rightarrow OM = \frac{a}{2},SM = a \)

\(\Rightarrow SO = \sqrt {S{M^2} - O{M^2}}  = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Vậy thể tích \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SO\)

\(= \frac{1}{3}.{a^2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\).

Chọn B. 

-- Mod Toán 12