Chứng minh rằng các phép tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm là những phép dời hình.
Giả sử \({T_{\overrightarrow v }}\) là phép tịnh tiến theo vecto \(\overrightarrow v \)
\(\begin{array}{l}
{T_{\overrightarrow v }}:M \to M\prime \\
N \to N\prime
\end{array}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {MM'} = \overrightarrow {NN'} = \vec v \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {M'N'} \\
\Rightarrow MN = M'N'
\end{array}\)
Vậy phép tịnh tiến là một phép dời hình.
*
Giả sử \({\mathop N\limits^\~ _d}\) là phép đối xứng qua đường thẳng d
Giả sử
\(\begin{array}{l}
{{\tilde N}_d}:M \to M'\\
N \to N'
\end{array}\)
Gọi H và K lần lượt là trung điểm của MM′ và NN′.
Ta có:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {M'N'} = \left( {\overrightarrow {MH} + \overrightarrow {HK} + \overrightarrow {KN} } \right)\\
+ \left( {\overrightarrow {M'H} + \overrightarrow {HK} + \overrightarrow {KN'} } \right) = 2\overrightarrow {HK}
\end{array}\\
\begin{array}{l}
\overrightarrow {MN} - \overrightarrow {M'N'} = \overrightarrow {HN} - \overrightarrow {HM} \\
- \overrightarrow {HN'} + \overrightarrow {HM'} = \overrightarrow {N'N} + \overrightarrow {MM'}
\end{array}
\end{array}\)
Vì \(\overrightarrow {MM'} \bot \overrightarrow {HK} \) và \(\overrightarrow {NN'} \bot \overrightarrow {HK} \) nên
\(\begin{array}{l}
{\overrightarrow {MN} ^2} - {\overrightarrow {M'N'} ^2} = \left( {\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {M'N'} } \right)\left( {\overrightarrow {MN} - \overrightarrow {M'N'} } \right)\\
= 2\overrightarrow {HK} \left( {\overrightarrow {N'N} + \overrightarrow {MM'} } \right) \Rightarrow M{N^2} = M'N{{\rm{'}}^2}\\
\Rightarrow MN = M'N'
\end{array}\)
Vậy phép đối xứng qua d là phép dời hình.
* Nếu phép đối xứng qua tâm O biến hai điểm M, N lần lượt thành hai điểm M′, N′ thì
\(\overrightarrow {OM'} = - \overrightarrow {OM} ;\overrightarrow {ON'} = - \overrightarrow {ON} \)
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow \overrightarrow {M'N'} = \overrightarrow {ON'} - \overrightarrow {OM'} \\
= - \overrightarrow {ON} + \overrightarrow {OM} = \overrightarrow {NM} \\
\Rightarrow M'N' = MN
\end{array}\)
Vậy phép đối xứng tâm O là một phép dời hình.
-- Mod Toán 12
Copyright © 2021 HOCTAP247