Bài tập 1.52 trang 23 SBT Hình học 12
Bài tập 1.52 trang 23 SBT Hình học 12
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng \(\frac{{a\sqrt 6 }}{3}\). Thể tích của hình chóp bằng:
A. \(\frac{{\sqrt 2 {a^3}}}{{16}}\)
B. \(\frac{{\sqrt 2 {a^3}}}{9}\)
C. \(\frac{{\sqrt 2 {a^3}}}{8}\)
D. \(\frac{{\sqrt 2 {a^3}}}{6}\)
.png)
Gọi O là tâm đáy, E là trung điểm của BC và H là hình chiếu của O trên SE.
Dễ thấy \(d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = 2d\left( {O,\left( {SBC} \right)} \right)\)
(vì \(AC = 2OC\))
Nên \(d\left( {O,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}\).
Lại có \(BC \bot \left( {SOE} \right) \Rightarrow BC \bot OH\), mà
\(OH \bot SE\) nên \(OH \bot \left( {SBC} \right)\).
Do đó \(d\left( {O,\left( {SBC} \right)} \right) = OH = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}\).
Tam giác SOE vuông tại O có \(OE = \frac{a}{2},OH = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}\) nên:
\(\begin{array}{l}
\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{E^2}}} + \frac{1}{{S{O^2}}} \Rightarrow SO = \frac{{OE.OH}}{{\sqrt {O{E^2} - O{H^2}} }}\\
= \frac{{\frac{a}{2}.\frac{{a\sqrt 6 }}{6}}}{{\sqrt {\frac{{{a^2}}}{4} - \frac{{6{a^2}}}{{36}}} }} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}
\end{array}\)
Thể tích khối chóp:
\(V = \frac{1}{3}SO.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 2 }}{3}.{a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{9}\)
Chọn B.
-- Mod Toán 12
Copyright © 2021 HOCTAP247