Bài tập 1.13 trang 18 SBT Hình học 12

Bài tập 1.13 trang 18 SBT Hình học 12

Xét tứ diện đều ABCD, M là một điểm trong của nó.

Gọi V là thể tích, S là diện tích mỗi mặt của tứ diện đều ABCD, \({h_A},{h_B},{h_C},{h_D}\) lần lượt là khoảng cách từ M đến các mặt (BCD), (CDA), (DAB), (ABC).

Ta có:

\(\begin{array}{l}
{V_{M.BCD}} = \frac{1}{3}S{h_A},{V_{M.CDA}} = \frac{1}{3}S{h_B},\\
{V_{M.DAB}} = \frac{1}{3}S{h_C},{V_{M.ABC}} = \frac{1}{3}S{h_D}
\end{array}\)

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
V = {V_{MBCD}} + {V_{MCDA}} + {V_{MDAB}}\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + {V_{MABC}}
\end{array}\\
{ = \frac{1}{3}S\left( {{h_A} + {h_B} + {h_C} + {h_D}} \right)}
\end{array}\)

\( \Rightarrow {h_A} + {h_B} + {h_C} + {h_D} = \frac{{3V}}{S}\)

Mà V, S là các số không đổi nên \({h_A} + {h_B} + {h_C} + {h_D}\) không đổi. (đpcm)

-- Mod Toán 12