Bài tập 5 trang 26 SGK Hình học 12

Bài tập 5 trang 26 SGK Hình học 12

\(\left. \begin{array}{l}
BA \bot CD\\
BA \bot CA
\end{array} \right\} \Rightarrow BA \bot \left( {ADC} \right) \Rightarrow BA \bot CE\)

Mặt khác BD ⊥ (CEF) ⇒ BD ⊥ CE.

Từ đó suy ra

CE ⊥ (ABD) ⇒ CE ⊥ EF, CE ⊥ AD.

Vì tam giác ACD vuông cân, AC = CD = a nên \(CE = \frac{{AD}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Ta có: 

\(BC = a\sqrt 2 .BD = \sqrt {2{a^2} + {a^2}}  = a\sqrt 3 \)

Để ý rằng \(CF.CD = DC.BC\) 

Nên \(CF = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{{a\sqrt 3 }} = a\sqrt {\frac{2}{3}} \)

Từ đó suy ra 

\(\begin{array}{l}
EF = \sqrt {C{F^2} - C{E^2}} \\
 = \sqrt {\frac{2}{3}{a^2} - \frac{{{a^2}}}{2}}  = \frac{{\sqrt 6 }}{6}
\end{array}\).

\(\begin{array}{l}
DF = \sqrt {D{C^2} - C{F^2}} \\
 = \sqrt {{a^2} - \frac{{2{a^2}}}{3}}  = \frac{{\sqrt 3 }}{3}
\end{array}\).

Từ đó suy ra :

\(\begin{array}{l}
{S_{\Delta CEF}} = \frac{1}{2}FE.FC = \frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt 6 }}{6}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\\
 = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{12}}
\end{array}\)

Vậy \({V_{D.CEF}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta CEF}}.DF\)

\( = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{12}}.\frac{{a\sqrt 3 }}{3} = \frac{{{a^3}}}{{36}}\)

-- Mod Toán 12