Bài tập 1.12 trang 18 BT Hình học 12

a) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}
BC \bot SA\\
BC \bot AB
\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot (SAB)\)

Vì \(AD \subset (SAB)\) nên \(AD \bot BC\)

Mặt khác \(AD \bot SB\) nên \(AD \bot (SBC)\)

Từ đó suy ra \(AD \bot SC\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{SC \bot AE}\\
{SC \bot AD}
\end{array}} \right. \Rightarrow SC \bot (ADE) \)

\(\Rightarrow SC \bot DE\) hay \(SE \bot (ADE)\)

Trong tam giác vuông SAB ta có: 

\(SA.AB = AD.SB \)

\(\Rightarrow AD = \frac{{AB.SA}}{{SB}} = \frac{{ac}}{{\sqrt {{a^2} + {c^2}} }}\)

Tương tự, trong tam giác vuông SAC ta có: \(AE = \frac{{SA.AC}}{{SC}} = \frac{{c\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\)

Do \(AD \bot (SBC)\) nên \(AD \bot DE\). Từ đó suy ra:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
DE = \sqrt {A{E^2} - A{D^2}} \\
 = \sqrt {\frac{{{c^2}({a^2} + {b^2})}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} - \frac{{{a^2}{c^2}}}{{{a^2} + {c^2}}}} 
\end{array}\\
{ = \frac{{{c^2}b}}{{\sqrt {({a^2} + {b^2} + {c^2})({a^2} + {c^2})} }}}
\end{array}\)

\(\begin{array}{l}
SE = \sqrt {S{A^2} - A{E^2}}  = \sqrt {{c^2} - \frac{{{c^2}({a^2} + {b^2})}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}} \\
 = \frac{{{c^2}}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}
\end{array}\)

Vậy

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
{V_{S.ADE}} = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}AD.DE.SE\\
 = \frac{1}{6}\frac{{ac}}{{\sqrt {{a^2} + {c^2}} }}.\frac{{{c^2}b}}{{\sqrt {({a^2} + {b^2} + {c^2})({a^2} + {c^2})} }}\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,.\frac{{{c^2}}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}
\end{array}\\
{ = \frac{{ab{c^5}}}{{6({a^2} + {b^2} + {c^2})({a^2} + {c^2})}}}
\end{array}\)

b) Gọi d là khoảng cách từ E đến mặt phẳng (SAB)