Bài tập 6 trang 26 SGK Hình học 12

Bài tập 6 trang 26 SGK Hình học 12

Câu a:

Ta có: AB = BC = CA = a

Gọi O là hình chiều vuông góc của (S) lên (ABC)

Khi đó ta có: \(\widehat{SBO}=\widehat{SCO}=\widehat{SAO}=60^0\)

\(\Rightarrow \Delta SOA=\Delta SOB=\Delta SOC\)

\(\Rightarrow OA=OB=OC\) hay O là tâm của tam giác đều ABC.

Trong các tam giác SOA, SOB, SOC. Ta có:

\(SA=SB=SC=2OA=2.\frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

\(=\frac{2a\sqrt{3}}{3}\)

\(SO=\sqrt{SB^2-OB^2}=a\)

Gọi I là trung điểm của BC, ta có: \(ID\perp SA\)

Nên \(ID. SA=SO.IA\)

\(\Rightarrow ID=\frac{a.\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\frac{2a\sqrt{3}}{3}}= \frac{3}{4}a\)

Xét tam giác vuông IDA, ta có:

\(DA=\sqrt{IA^2-ID^2}=\frac{a\sqrt{3}}{4}\)

\(\Rightarrow SD=\frac{2a\sqrt{3}}{3}- \frac{a\sqrt{3}}{4}=\frac{5a\sqrt{3}}{12}\)

Mặt khác: 

\(\frac{V_{S.ABC}}{V_{S.DBC}}=\frac{V_{S.DBC}+V_{A.BCD}}{V_{SDBC}}= 1+\frac{AD}{SD}\)

\(=1+\frac{\frac{a\sqrt{3}}{4}}{\frac{5a\sqrt{3}}{12}}=\frac{8}{5}\Rightarrow \frac{V_{S.DBC}}{V_{S.ABC}}=\frac{5}{8}\)

Câu b:

Ta có: \({S_{ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4};SH = AH.\tan {60^0} = a\)

\( \Rightarrow {V_{SABC}} = \frac{1}{3}.SH.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.a.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\)

Từ kết quả câu a) ta có:

\({V_{S.DBC}} = \frac{5}{8}.{V_{S.ABC}} = \frac{5}{8}.\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}} = \frac{{5{a^3}\sqrt 3 }}{{96}}\)

-- Mod Toán 12