Bài tập 1.17 trang 19 SBT Hình học 12

Bài tập 1.17 trang 19 SBT Hình học 12

Trong (A′B′C′D′), gọi I, J lần lượt là giao điểm của EF với A′B′ và A′D′.

Trong (ADD′A′), gọi \(M = AJ \cap D'D\).

Trong (ABB′A′), gọi \(L = AI \cap BB'\).

Khi đó thiết diện của hình hộp khi cắt bởi (AEF) là ngũ giác AMFEL.

Khi đó (H) là khối đa diện chứ đỉnh A′ và:

\({V_{\left( H \right)}} = {V_{A.A'IJ}} - {V_{M.D'JF}} - {V_{L.B'IE}}\).

Gọi V₀ là thể tích khối tứ diệnA.A′IJ, V là thể tích khối hộp ABCD.A′B′C′D′.

Vì EB′ = EC′ và B′I // C′F 

Nên \(IB' = FC' = \frac{{A'B'}}{2}\)

Do đó \(\frac{{IB'}}{{IA'}} = \frac{1}{3}\) 

Mà BE′ // A′J, B′L // AA′ 

\( \Rightarrow \frac{{IL}}{{IA}} = \frac{{IE}}{{IJ}} = \frac{{IB'}}{{IA'}} = \frac{1}{3}\)

\( \Rightarrow \frac{{{V_{I.ELB'}}}}{{{V_{I.JAA'}}}} = \frac{{IL}}{{IA}}.\frac{{IE}}{{IJ}}.\frac{{LE}}{{AJ}} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^3} = \frac{1}{{27}}\)

Do đó \({V_{I.ELB'}} = \frac{1}{{27}}{V_0}\)

Tương tự \({V_{J.MFD'}} = \frac{1}{{27}}{V_0}\)

Gọi A′B′ = a ,B′C′ = b, đường cao hạ từ A xuống (A′B′C′D′) là h thì:

\(IA' = \frac{3}{2}A'B' = \frac{{3a}}{2}\)$;$

\(A'J = \frac{3}{2}A'D' = \frac{{3b}}{2}\) và

\(V = {V_{ABCD.A'B'C'D'}} = {S_{A'B'C'D'}}h \)

\(= abh.\sin \widehat {B'A'D'}\)

\({V_0} = \frac{1}{3}{S_{A'IJ}}.h \)

\(= \frac{1}{3}.\left( {\frac{1}{2}.\frac{{3a}}{2}.\frac{{3b}}{2}sin\widehat {B'A'D'}} \right)h \)

\(= \frac{3}{8}abh.\sin \widehat {B'A'D'}\)

\( \Rightarrow \frac{{{V_0}}}{V} = \frac{3}{8} \Rightarrow {V_0} = \frac{{3V}}{8}\)

Vậy \({V_{(H)}} = {V_0} - \frac{2}{{27}}{V_0} = \frac{{25}}{{27}}{V_0} = \frac{{25}}{{27}}.\frac{{3V}}{8} = \frac{{25}}{{72}}V\)

\({V_{(H')}} = V - {V_{\left( H \right)}} = \frac{{47}}{{72}}V \Rightarrow \frac{{{V_{(H)}}}}{{{V_{(H')}}}} = \frac{{25}}{{47}}\)

-- Mod Toán 12